Задания

1. Докажите, что евклидова прямая имеет счетную базу. Имеет ли счетную базу евклидово пространство , если?

2. Доказать, что семейство всех открытых шаров метрического пространства является базой этого пространства.

3. Пусть β – семейство множеств, удовлетворяющее следующему условию: для любых множеств A и B, принадлежащих β, множество принадлежитβ. Доказать, что β – база некоторой топологии.

4. Докажите, что пространство, имеющее счетную предбазу, имеет счетную базу, удовлетворяет первой аксиоме счетности и сепарабельно. Укажите пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, но не имеющее счетной базы. Приведите пример сепарабельного пространства, не имеющего счетной базы.

5. Можно ли утверждать, что сепарабельное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности, удовлетворяет и второй аксиоме счетности?

6. Доказать, что каждая бесконечная база пространства, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, содержит не более чем счетную базу этого пространства.

7. Даны следующие семейства подмножеств прямой R:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

Какое из этих семейств – база топологии на множестве R?

Какое из них – база топологии на R, относительно которой

а) интервал открыт?

б) интервал замкнут?

в) множество Q замкнуто?

г) отрезок является всюду плотным?

д) R удовлетворяет первой аксиоме счетности?

е) R удовлетворяет второй аксиоме счетности?

ж) R – сепарабельное пространство?

з) R – метризуемое пространство?

8. Пусть X – пространство, удовлетворяющее первой аксиомой счетности, ,. Доказать:

а) точка a тогда и только тогда является точкой прикосновения для множества A, когда существует последовательность точек множества A, сходящаяся к a;

б) A открыто тогда и только тогда, когда каждая последовательность точек пространства X, имеющая хотя бы один предел, принадлежащий A, почти вся содержится в A

в) если точка a – предельная точка некоторой последовательности точек пространства X, то эта последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к a.

9. Точка пространства называется точкой конденсации, если каждая окрестность этой точки несчетна. Доказать, что в топологическом пространстве со счетной базой множество точек, которые не являются точками конденсации, не боле чем счетно.

10. Пусть A – несчетное подмножество пространства, имеющего счетную базу. Доказать, что существует предельная точка подмножества A, принадлежащая этому подмножеству.

11. Пусть – топология пространстваX, пространство Y – подпространство пространства X, . Доказать, что

,

т.е. что Z – подпространство пространства X тогда и только тогда, когда Z – подпространство пространства Y.

12. Пусть Y − подпространство пространства X, . Доказать, что . Вывести отсюда, чтоA замкнуто в Y тогда и только тогда, когда для некоторого множества F, замкнутого в X, . Верно ли, что?

13. Пусть Y − подпространство пространства X. Доказать:

а) если Y замкнуто в X, то любое множество, замкнутое в Y, замкнуто в X ;

б) если Y открыто в X, то любое множество, открытое в Y, открыто в X.

14. Пусть Y − подпространство пространства X. Доказать:

а) если X метризуемо метрикой , тоY метризуемо метрикой ;

б) если и– база пространстваX в точке a, то – база пространства Y в точке a;

в) если – базаX, то – база Y.

15. Какие из следующих утверждений справедливы для всякого топологического пространства Х, произвольного его подпространства Y и каждого множества А  Y ?

1. Если А открыто в Y, то А открыто и в Х.

2. Если А открыто в Х то А открыто и в Y.

3. Если А замкнуто в Х, то А замкнуто и в Y.

4. Если А замкнуто в Y, то открыто вХ.

5. Если открыто вХ, то А замкнуто в Y.

6. .

7. Если А плотно в Y, то плотно вХ.

8. Если плотно вХ, то А плотно в Y.

9. Если β – база пространства Х , то Y  β – база пространства Y.

10. Если Х имеет счетную базу, то и Y имеет счетную базу.

11. Если Х сепарабельно , то и Y сепарабельно.

12. Если Х имеет счетную базу, то и Y сепарабельно.

13. .

14. =Y  .

15.  .

16. Пусть Y – подпространство пространства X. Доказать, что отображение , определяемое равенством, является вложениемY в X.

17. Пусть Q – подпространство евклидова пространства. Для каждой точкиx, принадлежащей Q, положим . Доказать:

1) отображение евклидова пространстванаQ является вложением в.

2) отображение является вложениемQ в .

18. Пусть U – подмножество дискретной суммы дизъюнктного семейства пространств. Доказать:

а) U открыто в тогда и только тогда, когда для каждого множествооткрыто в;

б) U замкнуто в тогда и только тогда, когда для каждого множествозамкнуто в;

в) , .

19. Доказать:

а) дискретная сумма метризуемых пространств метризуема;

б) дискретная сумма топологических пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счетноти, также удовлетворяет первой аксиоме счетности;

в) дискретная сумма семейства пространств сепарабельна тогда и только тогда, когда это семейство не более чем счетно и состоит из сепарабельных пространств;

г) дискретная сумма семейства пространств имеет счетную базу тогда и только тогда, когда это семейство не более чем счетно и каждое и каждое принадлежащее ему пространство имеет соответствующую счетную базу.

20. Проверьте, что следующие свойства пространств являются топологическими свойствами: а) свойство «удовлетворять первой аксиоме счетности»; б) свойство «иметь счетную базу»; в) сепарабельность; г) свойство «содержать несчетное дискретное подпространство»; д) свойство «являться дискретной суммой бесконечного семейства пространств».