Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

electrodynamics / metodychka2010_

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

439.45 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

∆Br + rot[vrBr],

Заняття 31-32

Тема: Електромагнітне поле в хвилеводах і резонаторах

1.Розв’язати задачі №82, 86, 94, 95, 103[1].

Домашнє завдання: повторити тему квазістаціонарні явища №98-102 [1]. Додатково №153 [5].

КВАЗІСТАЦІОНАРНІ ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ ПОЛЯ

Умови квазістаціонарності

ωτM <<1, τM = εεσ0 , R << λ .

Рівняння магнітної гідродинаміки для нестисливої рідини

∂vr		r r
ρ		+ (v )v
	∂t		= −

∂Br	=	1
∂t		µ0σ
	r

divv = 0,

p = p(ρ,T

	1		2	r	1 r r
p +		B		+η∆v +		(B )B,

	2µ0				µ0
	2µ0				µ0

Заняття 33

Тема: Квазістаціонарні явища

1.Розв’язати задачі № 15, 71, 75-77, 97 [1].

Домашнє завдання: повторити тему магнітна гідродинаміка № 79-81 [1].

Заняття 34

Тема: Магнітна гідродинаміка

1.Розв’язати задачі №106-108 [4].

Домашнє завдання: підготуватися до підсумкової контрольної роботи № 861 [3], 109 [4]. Додатково №155 [5].

Заняття 35

Тема: Підсумкова контрольна робота

Домашнє завдання: розв’язати задачі обох варіантів.

ДОДАТОК

Основні операції з векторами

Подвійний векторний добуток.

[ar[bcr]]= b(arcr)−cr(arb ).

Мішаний добуток векторів

ar[bcr]= b[crar]= ...

Теореми Остроградського-Гауса та Стокса

∫∫ar dS = ∫∫ar nrdS =∫∫∫divardV ,

∫ar dl = ∫∫rotar dS .

Криволінійні системи координат

Циліндрична x = r cosφ, y = r sinφ, z = z ,

a =axi +ay j +azk =aρeρ +aϕeϕ +azez ,

i=−eϕ sinφ+e ρ cosφ, j=eϕ cosφ+e ρ sinφ, k=e z ,

e ρ =cosφ i+sinφ j , eϕ =−sinφ i+cosφ j , e z =k ,

(eρ eϕ )= (eρ e z )= (eϕ e z )= 0 ,

ax =aρ cosφ−aϕ sinφ, ay =aρ sinφ+aϕ cosφ,

az =az .

Вирази для градієнта, дивергенції, ротора та оператора Лапласа в циліндричній системі координат:

grad f =∂∂ρf eρ + ρ1 ∂∂φf eϕ + ∂∂ zf e z ,

diva =

∂

(ρaρ )+

1 ∂aϕ

∂az

ρ ∂ρ

ρ ∂φ

∂ z

1 ∂az

∂a

1 ∂

∂a

∂az

(ρaϕ )−

rota =

−

ρ +

−

eϕ

e z ,

∂ z

ρ ∂ρ

ρ ∂φ

∂ρ

1 ∂

∂ f

1 ∂

∂

∆f =

∂r

2 ,

ρ ∂ρ

∂φ

∂ z

∂a

∆aρ −

+ ∆az e z .

−

∆a =

∂φ

∆aϕ −

∂φ

eϕ

Сферична x = r sin θcos φ, y = r sin θsin φ, z = r cos θ.

a=ax i+ay j+az k=ar er +aθ eθ +aφeφ

i=er sinθ cosφ+eθ cosθcosφ −eφ sinφ, j= er sinθ sinφ+eθ cosθsinφ +eφ cosφ, k=er cosθ −eθ sinθ,

er =sinθ cosφ i+sinθ sinφ j+cosθ k, eθ =cosθ cosφ i+cosθ sinφ j−sinθ k, eϕ =−sinφ i+cosφ j,

(er eϕ )=(er eθ )=(eϕ eθ )=0 ,

Вирази для градієнта, дивергенції, ротора та оператора Лапласа в сферичній системі координат:

grad f

∂ f

1 ∂ f

∂ f

∂ρ

r ∂θ

rsinθ ∂φ

diva =

∂

(r 2 ar )+

∂

(sinθaθ )+

∂aϕ

r 2

rsinθ ∂θ

rsin 2θ ∂φ

∂r

rota =

∂

(sinθa

)−

∂aϕ

rsinθ

∂θ

∂ϕ

∂a

∂

∂a

r −

(raϕ ) eθ +

(raθ

)−

eϕ ,

∂r

sinθ ∂ϕ

∂r

∂θ

1 ∂

(sinθaθ

1 ∂aϕ

∆a = ∆ar

−

sinθ ∂θ

sinθ ∂φ

er +

∂a

cosθ ∂aϕ

+ ∆aθ +

−

∂θ

2sin

sin

θ ∂φ

eθ +

∂a

aϕ

+ ∆aϕ +

+ cotθ

−

∂φ

eϕ ,

sinθ

2sinθ

1 ∂

∂ f

∂

∂ f

∂ 2 f

∆f

sinθ

2 .

sinθ

∂θ

sin

θ ∂α

∂r

∂θ

Основні властивості δ - функції Дірака

	δ(x − x0 )			0, x ≠ x0 ,
	δ(x − x0 )			=
				∞, x = x0
	∫b δ(x − x0 )dx =1, a < x0 < b ,
	a
∫b	f (x)δ(x − x0 )dx = f (x0 ), a < x0 < b				,
a				0, x0 < a, x0 > b
	δ(x)=		1	∞∫exp(ikx)dx ,
	δ(x)=			∞∫exp(ikx)dx ,
			2π −∞
	δ(r)=	1		∫∫∫exp(ik r)dk ,
	δ(r)=	3		∫∫∫exp(ik r)dk ,
		(2π)

f (r0 )= ∫∫∫f (r)δ(r - r0 )dV ,

∆

1 r

= −4πδ(rr − rr

').

− r '

Поліноми Лежандра

Рівняння

(1− x2 )dPl (x)

+l(l +1)Pl (x)=0

має своїм розв’язком поліноми Лежандра

P (x)=

d l (x2 −1)l

2l l!

dxl

			Pl (− x)= (−1)l Pl (x).
Зокрема,	(x)=1,					P1 (x)= x,
P0	(x)=1,					P1 (x)= x,
P2	(x)=		1	(3x2		−1), P3 (x)=	1	(5x3	−3x),
P2	(x)=	2		(3x2		−1), P3 (x)=		(5x3	−3x),
		2				2
		Pn (1)=1, P2k +1 (0)= 0,
		P			(0)	= (−1)k (2k )!.
			2k			22k (k!)2
						22k (k!)2

Поліноми Лежандра є лінійно незалежними та ортогональними функціями:

	∫1 Pk (x)Pl (x)dx =					2	δkl .
	∫1 Pk (x)Pl (x)dx =						δkl .
	−1				2l+1
Крім того мають місце рівності
	∫1 Pm		(x)Pn (x)dx =			δmn		,
	∫1 Pm		(x)Pn (x)dx =			2n +1		,
	0		(−1)k (2k )!			2n +1
1			(−1)k (2k )!			1
∫P2k +1	(x)dx =					, ∫P2k (x)dx = δk 0 .
∫P2k +1	(x)dx =	2	2k +1	k !(k +1)!		, ∫P2k (x)dx = δk 0 .
0		2		k !(k +1)!		0

Сферичні функції (гармоніки)

Сферичні функції визначаються формулами:

Y	(θ,φ)=		2l +1		(l − m)!Pm (cosθ)exp(imφ),
Y	(θ,φ)=		4π		(l − m)!Pm (cosθ)exp(imφ),
lm			4π		(l + m)!		l
	Pm (cos θ)= sin m θ						d m P (cos θ)		.
							l
							(d cos θ)m
	l
Зокрема,
Зокрема,
		Y		=	2l +1P (cosθ),
			l 0		4π		l
			Pl (1)= δ				4π	.
				m		m0	2l +1

Сферичні функції ортогональні на поверхні сфери одиничного радіуса

∫Ylm (θ,φ)Yl*'m' (θ,φ)dΩ = δll'δmm' .

Має місце наступний розклад по сферичних функціях

∞

4π

= ∑ ∑

Ylm (θ,φ)Ylm*

(θ',φ'), r > r' ,

r - r'

l+1

l=0 m=−l 2l +1 r

∞

4π

= ∑∑

Ylm (θ,φ)Ylm*

(θ',φ'), r < r' .

r - r'

l+1

l=0 m=−l 2l +1 r'

Якщо вісь Oz направлена вздовж r , тоді

∞

= ∑

Pl (cosθ), r > r' ,

r - r'

l+1

l=0

∞

= ∑

Pl (cosθ),

r'> r .

r - r'

l+1

l=0

(r')

Розв’язок рівняння Лапласа ∆φ = 0, в сферичній системі координат

φ(r,θ,α)= ∑∞ ∑l (Almrl + Blmr−l−1 )Ylm (θ,α) l=0 m=−l

Якщо немає залежності від кута α тоді розв’язок набуває вигляду

φ(r,θ)= ∑(Al rl + Bl r−l−1 )Pl (cosθ)

де P (cosθ) - поліноми Лежандра. Зокрема,

P =1, P = cosθ, P =

cos2

θ −

Циліндричні функції

Циліндричні функції є розв’язком рівняння

d 2 Zν

1 dZν

= 0

2 +

−

x dx

+ 1

2 Z

де 0 ≤ x ≤ ∞, ν - деякий параметр.

Обмежений розв’язок Jν (x) цього рівняння називається функцією Бесселя ν-го порядку або циліндричною функцією першого роду

∞	(−1)k	x		2k +ν
Jν (x)= ∑				,
			2
k =0	Γ(k +1)Γ(k + ν +1)

де Γ(x)= ∫0∞ t x−1 exp(−t)dt - гама-функція, Γ(n +1)= n!.

Другий лінійно незалежний розв’язок обертається в нескінченість в нулі. Якщо параметр ν не дорівнює цілому числу, то таким розв’язком буде або функція J −ν (x), або функція Неймана

Nν (x)=

Jν (x)cos πν − J−ν (x)

sin πν

Розв’язком рівняння також є функції Ганкеля, або циліндричні функції

третього роду

Hν(1) = Jν (x)+iNν (x),

Hν(2) = Jν (x)−iNν (x).

Функцію f (r),

неперервну

на проміжку

(0, ∞) ,

можна

розкласти

інтеграл Фур’є-Бесселя

f (r)= ∞∫cλ J n (λr)λdλ ,

де коефіцієнти

cλ = ∞∫ f (r)Jn (λr)rdr .

Функції Бесселя

J n (λr) та

J n (λ'r) з різними значеннями параметру

ортогональні

∞∫J n (λr)J n (λ'r)rdr =

δ(λ −λ').

d 2 Zν

1 dZν

Функція Макдональда є розв’язком рівняння

+ 1

2 Zν = 0 ,

при великих значеннях аргументу вона експоненціально спадає. Має місце зв’язок K0' (x)= −K1 (x).

ЛІТЕРАТУРА

1.М. М. Бредов, В. В .Румянцев, И. Н. Топтыгин, Классическая электродинамика, Москва, Наука, 1985.

2.Дж. Джексон, Классическая электродинамика, Москва, Мир, 1965

3.Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т.2 Теория поля, Москва, Наука, 1988.

4.Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т.8 Электродинамика сплошных сред, Москва, Наука, 1982.

5.М. В. Макарець, В. Ю. Решетняк, О.В. Романенко, Задачі з класичної електродинаміки, Київ, ВПЦ «Київський національний університет», 2006.

6.Дж. Метьюз, Р. Уокер, Математические методы физики, Москва, Атомиздат, 1972.

7.Ф. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики в 2-х т., М.: ИЛ, 1958.

8.В. Смайт, Электростатика и электродинамика, М.: ИЛ, 1954.

9.Дж. Стрэттон, Теория электромагнетизма., М..: Гостехиздат, 1948.

10.В. Й. Сугаков, Теоретична фізика. Електродинаміка, Київ, Вища школа, 1974.

11.А. М. Федорченко, Теоретична фізика, т.1 Класична механіка і електродинаміка, Київ, Вища школа, 1992.

12.Я. П. Терлецкий, Ю.П. Рыбаков, Электродинамика, Высшая школа, Москва, 1990.

13.Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш, Специальные функции, Наука, Москва, 1977.

14.J. D. Jackson Classical Electrodynamics, Third Edition Wiley; 3 edition 1998.

15.W. B. Smythe, Static And Dynamic Electricity, Taylor & Francis; 3 edition

1989.

Навчальне видання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ПРОВЕДЕННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

з класичної електродинаміки

для студентів фізичного факультету

Упорядник РЕШЕТНЯК Віктор Юрійович

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке electrodynamics

#
19.03.2015707.19 Кб26Classical Electrodynamics for Undergraduates - H. Norbury.pdf
#
19.03.20151.02 Mб101Companion to J.D. Jackson's Classical Electrodynamics 3rd ed. - R. Magyar.pdf
#
19.03.2015965.11 Кб47Electromagnetic Field Theory - Bo Thide.pdf
#
19.03.20151.02 Mб32maina5.pdf
#
19.03.2015439.45 Кб53metodychka2010_.pdf
#
19.03.2015265.22 Кб39zadachi-1.doc
#
19.03.201519.05 Mб34Иродов - Основные законы электромагнетизма.pdf