Глава 10
Міра Лебега
3. Вимірні множини
Нехай як і раніше - основний простір, A - деяка алгебра, на якій визначена міра, - зовнішня міра, що визначається за формулою (2.1) . Більшість з наведених далі тверджень справджуються для будь-яких мір, для доведення інших треба звузити клас мір скінченими.
Множина називається вимірною (ВМ) (вимірною за Каратеодорі), якщо виконується рівність:
(1)
Оскільки , а тому з напівадитивності зовнішньої міри маємо, що , тобто для доведення вимірності деякої множини треба перевіряти лише зворотну нерівність.
Сукупність усіх вимірних множин позначимо A, а звуження зовнішньої міри на A позначимо .
Теорема 1. |
(Сукупність вимірних множин) |
|
Сукупність A вимірних множин утворює алгебру множин, що містить в собі алгебру A. Звуження зовнішньої міри на A є мірою на A (для скінченої міри). |
Доведення проводиться в декілька кроків.
Першій крок. Покажемо, що з умови A, то й A. Дійсно, оскільки множина - ВМ, то виконується (1). Запишемо його, замінюючи на , а далі на :
, (2)
. (3)
Додамо останні дві нерівності, тоді з вимірності зліва одержимо , а тому маємо :
(4)
В останній рівності, що справджується замінимо на . Перші три доданки правої частини (4) не зміняться при такій заміні, а останній доданок стане дорівнювати: , а тому остаточно одержимо:
(5)
Порівнюючи (4),(5), одержимо, що :
тобто множина - вимірна.
Другий крок. Оскільки при заміні на рівність (1) не змінюється, а тому з вимірності слідує й вимірність . З перших двох пунктів слідує, що A - алгебра.
Третій крок. Якщо - диз’юнктна система, то рівність (5) набуває вигляду:
, аналогічно для будь-якої скінченої диз’юнктної системи множин :
. (6)
Четвертий крок. Доведемо, що A - алгебра. Нехай нам задана довільна послідовність множин A, яку без обмеження загальності ми можемо вважати диз’юнктною. Для доведення вимірності їх об’єднання достатньо показати, що виконується нерівність :
. (7)
З того, що A - алгебра зрозуміло, що A, тому:
,
з формули (6) та з монотонності зовнішньої міри одержимо:
, (8)
тут ми використали очевидне включення , що справджується , переходимо до границі при , знайдемо:
. (9)
Із зліченої напівадитивності ЗМ, одержимо
,
додаючи до цієї нерівності (9), одержимо (7), тому A, тобто A - алгебра.
П’ятий крок. Доведемо, що на A є мірою. Для цього достатньо показати злічену адитивність на A. Нехай A. Покладемо в (9) , тоді будемо мати , поєднуючи це з зліченою напівадитивністю, одержимо потрібну рівність: .
Шостий крок. Доведемо, що AA. Для цього достатньо показати, що A ця множина – вимірна, тобто виконується нерівність :
. (10)
З визначення зовнішньої міри та властивостей інфінума: A: , при цьому
. (11)
Кожну з множин подамо у вигляді: , кожна множина цього об’єднання входить в A, тому й
,
тоді нерівність (11) набуває вигляду:
. (12)
Крім того,
, ,
звідки означенню зовнішньої міри, маємо:
,
а тому з (12) одержимо:
Внаслідок довільності одержуємо те, що треба.
Теорема доведена.
Теорема 2. |
(Існування продовження міри) |
|
Нехай A - деяка алгебра, - міра на A. Тоді існує алгебра A1A і міра на A1, така що її звуження на A співпадає з (для скінченої міри). |
Доведення. Все безпосередньо слідує з попередньої теореми. Побудуємо по мірі зовнішню міру і за A1 виберемо алгебру A усіх вимірних (за Каратеодорі) множин, а за - міру . Це й буде шуканим продовженням міри.
Теорема доведена.
Нехай A - деяка алгебра, - міра на A. Позначимо A породжену цією алгеброю алгебру (мінімальну), побудуємо продовження міри на A. Таке продовження називають мінімальним продовженням.
Легко показати, що воно існує. Оскільки A A, то можемо покласти , як звуження міри на алгебру A. Очевидно, що міра і що це мінімальне продовження міри .
Якщо - аксіоматично визначена зовнішня міра, то для неї можна визначити аналогічним чином поняття вимірності та вимірної множини. При цьому залишається чинною теорема 1.
Міра , що задана на алгебрі A, називається повною, якщо з умов A, , слідує, що A. Зрозуміло, з монотонності міри, що при цьому .
Теорема 3. |
(Про множини нульової міри) |
|
Нехай - міра на алгебрі A, - її зовнішня міра. Якщо , то множина вимірна й . |
Доведення. Для доведення вимірності достатньо показати, що справджується нерівність: , . Оскільки , то з монотонності та невід’ємності міри слідує , аналогічно
, тобто множина вимірна, а далі очевидно, що .
Теорема доведена.
Наслідок. |
(Повнота міри ) |
|
Міра , що одержана як звуження зовнішньої міри на алгебру A вимірних множин є повною. |
Теорема 4. |
(Неперервність знизу) |
|
Нехай - міра на алгебрі A. Якщо задана монотонно зростаюча послідовність множин A, то . |
Доведення. Згадавши подання об’єднання через диз’юнктні множини, одержимо:
,
з урахуванням того, що .
Теорема доведена.
Теорема 5. |
(Неперервність зверху) |
|
Нехай - міра на алгебрі A. Якщо задана монотонно спадна послідовність множин A, і : , то . |
Доведення. Без обмежень загальності можемо вважати, що (тобто скінчена), а тому далі за правилами де Моргана легко зведемо задачу до попередньої: , з субтрактивності міри
, що й треба довести.
Теорема доведена.
Теорема 6. |
(Критерій вимірності) |
|
Нехай - - скінчена міра на алгебрі множин A, - продовження цієї міри на - алгебру вимірних множин A. Тоді множина A - вимірна тоді і тільки тоді, коли A: . |
Доведення. Необхідність. З того, що A останню умову можна записати у вигляді . Нехай множина має скінчену міру. З визначення зовнішньої міри A: і
. (13)
Оскільки та , то останню нерівність можна переписати у вигляді: .
Запишемо , справа записана монотонно зростаюча послідовність множин, то з теореми 4 , із збіжності ряду можемо вибрати достатньо великим, щоб виконувалась нерівність:
, (14)
тоді покладемо A і покажемо, що воно шукане, тобто виконується нерівність , для чого достатньо щоб виконувалися нерівності:
, (15.1)
. (15.2)
Оскільки , тому з монотонності, субтрактивності міри та з формули (14) маємо:
, і нерівність (15.1) доведена. Далі, оскільки , то з властивостей міри: , що слідує із співвідношення (13). Таким чином доведена нерівність (15.2), а тому й необхідність доведена.
Достатність. Для скінченої міри усе доводиться доволі просто. Якщо - вимірна за Каратеодорі, то , а тому , що еквівалентно вимірності за Лебегом. Інші випадки цієї теореми пропонуємо довести самостійно.
Теорема доведена.
Система M підмножин простору називається монотонним класом, якщо разом з будь-якою монотонною послідовністю множин вона містить також її границю .
Лема 1. |
(Кільце – монотонний клас) |
|
Якщо кільце множин R є монотонним класом, то R - -кільце. |
Доведення. Виберемо довільну послідовність множин R, побудуємо монотонно зростаючу послідовність множин , з того, що R - монотонний клас, слідує, що R, що й треба було довести.
Лема доведена.
Теорема 7. |
(Про мінімальний монотонний клас) |
|
Нехай R - деяке кільце. Позначимо через R породжене кільцем R -кільце, а через R - мінімальний монотонний клас, що містить R. Тоді RR. |
Доведення. Оскільки R містить усі можливі злічені об’єднання, а R лише об’єднання монотонних послідовностей, то RR. Якщо ми покажемо, що R - кільце множин, то з леми одержимо, що R - також -кільце. Тоді оскільки R - мінімальне -кільце, що містить R, то RR, з чого й буде слідувати потрібна рівність. Тобто залишається показати, що R - кільце множин.
Першій крок. Зафіксуємо множину та розглянемо клас множин R. З симетричності визначення відносно слідує, що з умови слідує .
Другий крок. Покажемо, що - монотонний клас. Нехай дана зростаюча послідовність множин , покажемо, що . З означення границі зростаючої послідовності: R, аналогічно R і
R, оскільки послідовність - спадна з монотонного класу R. Тому . Повністю аналогічно цеж саме перевіряється для монотонно спадної послідовності , тобто, що й . Тому - монотонний клас.
Третій крок. Нехай R. Покажемо, що R. Спочатку покажемо, що R. Нехай R. З того, що R - кільце слідує, що R, а тому й R, тобто . Таким чином R, тобто - монотонний клас, що містить R. Оскільки R - мінімальний подібний клас, то R.
Четвертий крок. Якщо R, то R. Для доведення візьмемо довільну множину R, тоді за доведеним на третьому кроці одержимо, що R. Оскільки R, то , то з доведеного на першому кроці . Таким чином R, а тому й R.
П’ятий крок. Покажемо тепер заключне, що R - кільце. Нехай R. Оскільки R, то з доведеного на четвертому кроці R, зокрема . Але тоді з визначення слідує, що R, тобто R - кільце.
Теорема доведена.
Теорема 8. |
(Про єдиність мінімального продовження міри) |
|
Нехай A - деяка алгебра, A - -алгебра, породжена алгеброю A. Нехай на A визначені дві міри - . Якщо ці міри співпадають на A, то . |
Доведення. Треба показати, що A: . Якщо A, то це слідує з умов теореми. Якщо A, то AA. Тому A є границею монотонної послідовності A, з теорем, про границю монотонних послідовностей одержимо, що .
Теорема доведена.