Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задач_ 10-3 М_ра Вим_рн_ множини

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

820.22 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Глава 10

Міра Лебега

3. Міра. Зовнішня міра. Вимірні множини

Теорія

Нехай в деякому просторі визначена алгебра множин A, на якій задана дійсна функція множин A. Ця функція називається мірою, якщо виконуються умови:

1) ;

2) для будь-якої диз’юнктної послідовності множин (злічена адитивність, або -адитивність).

При цьому міра називається скінченою, якщо .

Міра називається скінченою, якщо існує монотонно зростаюча послідовність множин A: і .

Властивості	Міри:
1.	(Монотонність)
	Якщо A і , то .
2.	(Субтрактивність)
	Якщо A і , то .
3.	(Злічена напівадитивність)
	A .

Нехай на деякій алгебрі множин A визначена міра . Тоді визначимо функцію

, (1)

де інфінум береться по всіх таких послідовностях множин A, що покривають задану множину (очевидно, що такі послідовності існують, в якості однієї можливої можемо покласти ,). Функцію , що визначена на назвемо зовнішньою мірою.

Властивості	Зовнішньої міри:
1.	(зовнішня міра на алгебрі)
	Якщо A, то .
2.	(невід’ємність зовнішньої міри)
	, а також .
3.	(монотонність зовнішньої міри)
	.
4.	(напівадитивність зовнішньої міри)
	.
Зауваження.	Інколи буває зручним визначати зовнішню міру аксіоматично. Дійсна функція , що визначена на -алгебрі множин називається зовнішньою мірою, якщо вона задовольняє умови:
1.	(невід’ємна);
2.	;
3.	- монотонна;
4.	- злічено-напівадитивна.

Якщо на алгебрі множин визначено за формулою (1) зовнішню міру, при цьому (міра усього простору скінчена), то можна визначити внутрішню міру , за формулою: .

Більшість з наведених далі тверджень справджуються для будь-яких мір, для доведення інших треба звузити клас мір скінченними.

Множина називається вимірною (вимірною за Каратеодорі), якщо виконується рівність:

Сукупність усіх вимірних множин позначимоA, а звуження зовнішньої міри на A позначимо .

Теорема 1.	(Сукупність вимірних множин)
	Сукупність A вимірних множин утворює алгебру множин, що містить в собі алгебру A. Звуження зовнішньої міри на A є мірою на A (для скінченої міри).
Теорема 2.	(Існування продовження міри)
	Нехай A - деяка алгебра, - міра на A. Тоді існує алгебра A₁A і міра на A₁, така що її звуження на A співпадає з (для скінченої міри).

Нехай A - деяка алгебра, - міра на A. Позначимо A породжену цією алгеброю алгебру (мінімальну), побудуємо продовження міри на A. Таке продовження називають мінімальним продовженням.

Зауваження.

Якщо - аксіоматично визначена зовнішня міра, то для неї можна визначити аналогічним чином поняття вимірності та вимірної множини. При цьому залишається чинною теорема 1.

Міра , що задана на алгебрі A, називається повною, якщо з умов A, та , слідує, що A. Зрозуміло, з монотонності міри, що при цьому .

Теорема 3.	(Про множини нульової міри)
	Нехай - міра на алгебрі A_, - її зовнішня міра. Якщо , то множина вимірна й .
Наслідок.	(Повнота )
	Міра , що одержана як звуження зовнішньої міри на алгебру A вимірних множин є повною.
Теорема 4.	(Неперервність знизу)
	Нехай - міра на алгебрі A_{, якщо задана монотонно зростаюча послідовність множин} A_, то _.
Теорема 5.	(Неперервність зверху)
	Нехай - міра на алгебрі A_{, якщо задана монотонно спадна послідовність множин} A_, і _, то _.
Теорема 6.	(Критерій вимірності)
	Нехай - скінчена міра на алгебрі множин A, - продовження цієї міри на алгебру вимірних множин A. Тоді множина - вимірна (A) тоді і тільки тоді, коли A: .

Система M підмножин простору називається монотонним класом, якщо разом з будь-якою монотонною послідовністю множин вона містить також її границю .

Лема 1.	(Кільце - монотонний клас)
	Якщо кільце множин R є монотонним класом, то R - кільце.
Теорема 7.		(Про мінімальний монотонний клас)
		Нехай R - деяке кільце. Позначимо через R породжене кільцем R кільце, а через R - мінімальний монотонний клас, що містить R. Тоді R R
Теорема 8.		(Про єдиність мінімального продовження міри)
		Нехай A - деяка алгебра, A - алгебра, породжена алгеброю A. Нехай на A визначені дві міри - . Якщо ці міри співпадають на A, то .

Задачі

Довести твердження:

а) нехай - міра на алгебрі множин A, тоді A, A мають місце співвідношення:

1) ;

2) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) для будь-якої скінченої або зліченої сукупності множин A ;

10) якщо , то ;

б) адитивна функція A є мірою на алгебрі A тоді і тільки тоді, коли - адитивна;

в) нехай - зовнішня міра на алгебрі множин , тоді мають місце умови:

1) ;

2) ;

3) ;

4) якщо принаймні одна з множин чи вимірна, то в попередньому пункті має місце рівність;

5) якщо до довільної множини додати чи відняти множину міри нуль, то для одержаної множини ;

6) зовнішня міра може бути не адитивною;

г) внутрішня міра в просторі зі скінченою мірою має властивості:

1) невід’ємність ;

2) монотонність;

3) ;

4) злічена-напівадитивність;

5) ;

6) множина - вимірна ;

д) нехай міра визначена на - алгебрі A, A, тоді:

1) ;

2) , якщо ;

3) множина R A є кільцем;

4) RA,A, є кільцем;

5) якщо для деякої множини і A: та , то - вимірна;

е) в просторі монотонними класами є:

1) ;

2) будь-яке кільце R в ;

є) перетин будь-якої кількості монотонних класів є монотонним класом;

ж) нехай M - деяка система підмножин основного простору, M, M - відповідно найменша алгебра та найменший монотонний клас, що містить множину M, тоді MM;

з) якщо деяка функція, функція множин , що визначена на півкільці півінтервалів дійсної осі, задається таким чином: , тоді - міра на - неспадна та неперервна зліва на функція;