Lektsii_Rubleva_1 / Гл 10 М_ра Лебега / Пар 10-1 Теор_я множин
.doc
Глава 10
Міра Лебега
1. Теорія множин
Нехай - основний простір, всі елементи, а також множини, що розглядаються в даному розділі належать цьому простору.
Нехай деяка послідовність множин з . Назвемо верхньою границею послідовності множин множину усіх , що належать нескінченній кількості множин з , і позначимо її через ; нижньою границею послідовності множин множину усіх , що належать всім множинам з , починаючи з деякої, і позначимо її через . Будемо казати, що послідовність множин має границю, якщо виконується рівність , множину, що є спільним значенням цих двох границь будемо називати границею послідовності позначатимемо .
Непорожня система множин R називається кільцем, якщо вона замкнена відносно операцій об’єднання та різниці, тобто з умови R , R слідує, що R, R .
Зрозуміло, що кільце також замкнене відносно скінчених об’єднань та перетинів.
Алгеброю A множин називається кільце R підмножин множини , що містить .
Очевидно, що алгебра замкнена відносно операції доповнення, тобто з умови A A.
Диз’юнктним об’єднанням сукупності множин називається об’єднання попарно неперетинаючихся множин, таку систему множин також називатимемо диз’юнктною.
Лема 1. |
(Подання об’єднання через диз’юнктне об’єднання) |
|
Нехай - довільна послідовність множин, що належить кільцю R . Тоді існує така диз’юнктна послідовність множин R , що задовольняє умови: 1) ; 2) , . |
Доведення. Достатньо вказати принцип побудови послідовності R : , , ,..., ,...
Лема доведена.
Кільце множин R (алгебра множин A) називається кільцем (сигма кільцем) (алгеброю), якщо воно разом з довільною послідовністю містить також і їх об’єднання . (Замкненість відносно зліченого об’єднання, або об’єднання).
Для будь-якої не порожньої системи множин підмножин множини назвемо R кільцем, що породжується множиною (породженим кільцем), або кільцевою оболонкою множини , таке кільце, що містить , а також само міститься в будь-якому іншому кільці, що містить . Повністю аналогічно визначається породжена алгебра, кільце, алгебра.
Теорема 1. |
(Про породжене кільце) |
|
Для будь-якої не порожньої системи підмножин множини існує одне і тільки одне породжене кільце R. |
Доведення. Кільця, що містять існують, наприклад одним з таких буде множина . Розглянемо перетин усіх кілець, що містять : R, де - сукупність усіх кілець, що містить . Очевидно за побудовою, що R - кільце, що містить , крім того воно міститься в усіх інших кільцях. Звідси також слідує, що воно єдине.
Теорема доведена.
Наведене доведення не є конструктивним. Але можна легко вказати засіб побудови R - це сукупність множин, що утворюються з множин в результаті застосування скінченої кількості операцій об’єднання та віднімання.
Аналогічно доводиться існування породженого кільця, алгебри, алгебри.
Приклад 1. |
Нехай - дійсна вісь, - сукупність усіх півінтервалів типу . Легко зрозуміти, що породженим кільцем R є сукупність множин, що складається із об’єднань скінченої кількості півінтервалів. |
Півкільцем назвемо сукупність множин, що є замкненим відносно перетину, а також має властивість: : .