Lektsii_Rubleva_1 / Гл 10 М_ра Лебега / Пар 10-2 М_ра Зовн_шня м_ра

Глава 10

Міра Лебега

2. Міра. Зовнішня міра

Теорія

Нехай в деякому просторі визначена алгебра множин A, на якій задана дійсна функція множин A. Ця функція називається мірою, якщо виконуються умови:

1) ;

2) для будь-якої диз’юнктної послідовності множин (злічена адитивність, або -адитивність).

При цьому міра називається скінченою, якщо .

Міра називається скінченою, якщо існує монотонно зростаюча послідовність множин A: і .

Властивості	Міри:
1.	(Монотонність)
	Якщо A і , то .
2.	(Субтрактивність)
	Якщо A і , то .
3.	(Злічена напівадитивність)
	A .

Нехай на деякій алгебрі множин A визначена міра . Тоді визначимо функцію

, (1)

де інфімум береться по всіх таких послідовностях множин A, що покривають задану множину (очевидно, що такі послідовності існують, в якості однієї можливої можемо покласти ,). Функцію , що визначена на назвемо зовнішньою мірою.

Властивості	Зовнішньої міри:
1.	(зовнішня міра на алгебрі)
	Якщо A, то .
2.	(невід’ємність зовнішньої міри)
	, а також .
3.	(монотонність зовнішньої міри)
	.
4.	(напівадитивність зовнішньої міри)
	.
Зауваження.	Інколи буває зручним визначати зовнішню міру аксіоматично. Дійсна функція , що визначена на -алгебрі множин називається зовнішньою мірою, якщо вона задовольняє умови:
1.	(невід’ємна);
2.	;
3.	- монотонна;
4.	- злічено-напівадитивна.

Якщо на алгебрі множин визначено за формулою (1) зовнішню міру, при цьому (міра усього простору скінчена), то можна визначити внутрішню міру , за формулою: .