Lektsii_Rubleva_1 / Гл 08 Кратн_ кривол_н_йн_ та поверхнев_ _нтеграли / Пар 8-10 Визначення кривол_н_йного _нтегралу

2

Глава 8

Інтеграл Рімана на компакті.

10. Визначення криволінійних інтегралів першого та другого роду

Множина називається простою гладкою кривою, чи траєкторією, якщо існує неперервне диференційоване відображення з відмінною від нуля похідною. При цьому відображення називається параметричним зображенням кривої .

Якщо інше зображення кривої , де , то очевидно відображення має відмінну від нуля похідну. Якщо , то параметричні зображення та називаються еквівалентними.

Множина усіх еквівалентних зображень простої гладкої кривої називається її орієнтацією. Упорядкована пара () називається орієнтованою гладкою кривою.

Усі параметричні зображення еквівалентні між собою, вони утворюють протилежну орієнтацію . Орієнтовану гладку криву назвемо протилежно орієнтованою по відношенню до . Якщо орієнтована гладка крива, , то - початкова, а - кінцева точки кривої. Очевидно, що орієнтація однозначно визначається початковою точкою.

Неперервна функція може бути не інтегрованою за Ньютоном-Лейбніцем на лінійно зв’язаній множині. Тому виникає потреба в новому понятті – криволінійному інтегралі.

Нехай проста гладка крива, функція її параметричне зображення. Якщо і , то криволінійним інтегралом 1-го роду від функції по кривій називається число , якщо воно існує.

Якщо це розписати (для ), одержимо:

(позначення).

Нехай - гладка орієнтована крива, і . Якщо , і , то криволінійним інтегралом другого роду функції по називається число .

Якщо це розписати для простору , будемо мати:

Упорядкований набір гладких орієнтованих кривих називається кусково-гладкою кривою, якщо кінцева точка гладкої орієнтованої кривої збігається з початковою точкою аналогічної кривої . Множина називається слідом Кусково-гладкої кривої, або множиною її точок. Інтеграли першого і другого роду визначається через відповідну суму інтегралів.

Кожній точці поставимо у відповідність одиничний дотичний вектор , . Він не залежить від вибору параметричного зображення . Звідси маємо:

, де зведення інтеграла другого роду до інтеграла першого роду.