Lektsii_Rubleva_1 / Гл 08 Кратн_ кривол_н_йн_ та поверхнев_ _нтеграли / Пар 8-09 Невласний _нтеграл Р_мана

6

Глава 8

Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

9. Невласний - кратний інтеграл Рімана

Точка називається особливою точкою для інтегрування функції (), якщо не обмежена в будь-якому її околі .

Припустимо, що всі особливі точки функції утворюють замкнену множину міри (можливо ). Візьмемо послідовність множин , яка має властивості:

1)відкриті та вимірні за Жорданом (межа такої множини має міру 0);

2) і .

Таку послідовність множин назвемо припустимою для інтегрування функції з множиною особливих точок , або коротше – припустимою.

(Зазначимо, що з вимірності за Жорданом слідує їх обмеженість).

Нехай неперервна майже скрізь в області визначення, оскільки і , то у кожної точки є окіл , значення функції в якому обмежені. За теоремою Гейне-Бореля, з вказаної сім’ї околів можна вибрати їх скінчену підмножину , яка покриває . Тоді в кожному з околів обмежена числом , тоді числом функція обмежена на множині , звідси вона інтегрована на множині .

Розглянемо послідовність кратних інтегралів Рімана

. (1)

Якщо для будь-якої припустимої послідовності множин () послідовність інтегралів Рімана () має при скінчену границю , яка не залежить від вибору припустимої послідовності, то існує (збігається) невласний кратний інтеграл Рімана:

, (2)

який дорівнює числу . Якщо , або взагалі не існує, то невласний інтеграл (2) не існує (розбігається).

Невласний інтеграл (10.2) називається абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл.

Теорема 1.	(Невласний інтеграл для невід’ємної функції)
	Нехай функція неперервна майже скрізь і невід’ємна. Якщо існує така припустима послідовність множин (), що послідовність інтегралів () обмежена, то інтеграл (10.2) збігається.

Доведення. Існування границі послідовностей (скінченої чи нескінченої) за будь-якого вибору припустимої послідовності множин () випливає з теореми Вейєрштрасса про границю монотонної числової послідовності. Залишилося довести незалежність границі від вибору послідовності ().

Нехай () – інша припустима послідовність множин. замкнена і обмежена і , тому () покриття множини . За теореми Гейне-Бореля, з неї можна виділити скінчене покриття. Тому існує номер : , . В нерівності

(4)

перейдемо спочатку до границі при , а далі до границі при , звідси одержимо:

. (5)

Замінюючи місцями () і (), одержимо нерівність, зворотну до нерівності (5), звідси і одержимо бажану рівність.

Теорему доведено.

Теорема 2.	(Збіжність абсолютно збіжного інтегралу)
	Нехай неперервна майже скрізь. Якщо невласний інтеграл (2) збігається абсолютно, то він збіжний.

Доведення. Розглянемо функції , . Вони обидві невід’ємні і, крім того, виконуються рівності:

; . Тому маємо:

		(6)
		(7)

де ()- довільна припустима послідовність множин.

З рівності (6) слідує обмеженість послідовностей , і з теореми 1 обидва ці інтеграли збігаються: , , а з рівності (7) слідує існування скінченої і незалежної від припустимої послідовності () границі і існує інтеграл: .

Теорему доведено.

Теорема 3.	(Зв’язок абсолютної та простої збірностей інтегралів)
	Нехай неперервна майже скрізь. Якщо невласний інтеграл (2) збігається, то він збігається абсолютно.

Доведення. Припустимо, що збіжний інтеграл (2) абсолютно розбіжний, тоді для будь-якої припустимої послідовності множин () маємо: . Легко зрозуміти, що можна було взяти таку послідовність (), для якої

(8)

Поклавши , дістанемо нерівність:

. Згадуючи, що , запишемо останню нерівність у вигляді:

(9)

Враховуючи невід’ємність обох функцій і , маємо, що з двох інтегралів і один більше або дорівнює іншому. Нехай . Тоді з (9) ми одержимо:

(10)

Візьмемо такий вимірний брус , що , де .

З нерівності (10) ми одержимо:, з властивості верхньої межі знайдеться таке розбиття , що

(11)

Нехай внутрішність тих комірок, в яких функція додатна

Тому маємо: . Позначимо вона припустима і . (12)

З останньої нерівності слідує, що послідовність - необмежена (теж саме було б у припущенні ).

Теорема доведена.

Теорема 4.	(Лінійність невласних інтегралів)
	Якщо невласний інтеграл збігається для функцій і , то він збігається і для функції і .

Нехай , неперервна майже скрізь на множині та не інтегрована за Ріманом у введених раніше означеннях. Розглянемо функцію : . Невласний кратний інтеграл

(13) назвемо кратним невласним інтегралом від функції на множині і позначимо його символом .

Приклад 1.	Дослідити на збіжність невласний інтеграл:
	,
	. За означенням будемо досліджувати функцію . Оскільки , досить розглянути послідовність інтегралів Рімана на фіксованій припустимій послідовності множин (). Нехай і кожному інтегралу зробимо заміну змінних до сферичної системи координат:
	,	(14)
	де , , , , визначник якої:
	.	(15)
	якщо , то і інтеграл розбігається, якщо ж , .

Приклад 2.	Дослідити на збіжність невласний інтеграл:, де
	,
Аналогічно Прикладу 1 , одержимо:		- збіжний, якщо; -розбіжний, якщо .

Ознака 1.	(Загальна ознака порівняння)
	Нехай , - невід’ємні функції, майже скрізь неперервні в , , то із збіжності слідує збіжність інтеграла , та навпаки, з розбіжності інтегралу слідує розбіжність невласного інтегралу .

Доведення очевидно (послідовність обмежена).

Ознака 2.	(Ознака збіжності на нескінченності)
	Якщо функція , є майже скрізь неперервною, локально обмеженою та існує , , то невласний інтеграл збігається при .

Ознака 3.	(Ознака збіжності в нулі)
	Якщо функція , є майже скрізь неперервною, обмеженою поза деяким околом початку координат О та існує , , то невласний інтеграл збігається при .

Теорема 5.	(Заміна змінної в невласному інтегралі)
	Нехай гомеоморфне регулярне відображення . Якщо функція неперервна скрізь на за винятком замкненої множини точок міри і невласний інтеграл
		(16)
	існує, то наступний інтеграл .
		(17)
	також існує і вони рівні між собою

Доведення. Спочатку припустимо, що . У цьому випадку достатньо дослідити поведінку інтегралів (16) та (17) на одній припустимій послідовності множин. Візьмемо якусь припустиму послідовність множин (), яка складається з об’єднання скінченої кількості вимірних брусів. Нехай і покажемо, що послідовність () – припустима.

.

У кожному околі, який не перетинається з функція обмежена тобто усі особливі точки цієї функції належать цієї множині .

- образ при регулярному відображенні відкритої множини є відкритою множиною. Межа множини є прообразом межі . Покажемо, що її міра є 0. Розглянемо функцію: , вона є неперервною, крім того - межа множини є ком пакт з теореми про заміну змінних маємо: оскільки - міри 0 (- вимірні за Жорданом ), то міра дорівнює нулю (значення дорівнює інтегралу), отже - є припустимою і за формулою заміни змінних ми маємо: . Перейдемо до границі при і дістанемо бажану рівність.