Lektsii_Rubleva_1 / Гл 07 _нтеграли залежн_ в_д параметра / Пар 7-5 Властивост_ Н_ЗП

3

Глава 7

Інтеграли, залежні від параметра

5. Властивості НІЗП 1 роду

Нехай як і раніше , , , . Розглянемо інтеграл:

, , (1)

Теорема 1.	(Неперервність НІЗП)
	Якщо , а збігається рівномірно на інтервалі , то .

Доведення. При виконанні умов теореми кожна функція ФП , де , є неперервною, оскільки , а тому на . За теоремою про рівномірну границю послідовності неперервних функцій маємо, що .

Теорема доведена.

Наслідок.	(Граничний перехід в НІЗП)
	При виконанні умов теореми 1 виконується співвідношення:.
		(2)

Теорема 2.	(Диференціювання НІЗП)
	Якщо неперервна на разом із своєю частинною похідною , інтеграл збігається на , а інтеграл , збігається рівномірно на , то диференційована на , причому .

Доведення. Розглянемо ФП , , яка збігається до . Кожна функція цієї послідовності задовольняє умови теореми про диференціювання власного ІЗП, внаслідок чого ми маємо: . З рівномірної збіжності інтегралу маємо, що на . Згідно теореми про граничний перехід в ФП, маємо, що - диференційована і .

Теорема доведена.

Теорема 3.	(Інтегрування НІЗП)
	Нехай , , , . Якщо функція , а інтеграл , збігається рівномірно на , то , причому має місце рівність:
	.	(3)

Доведення. За теоремою 1 . Залишається довести відповідну рівність. Нехай вибране довільне . З рівномірної збіжності інтеграла слідує, що . Далі будемо мати

. (4)

в першому інтегралі правої частини (4) можна зробити заміну порядку інтегрування, а другий інтеграл з оцінки зробленої вище внаслідок рівномірної збіжності не перевищує за модулем . Тоді маємо оцінку

, з якої слідує існування невласного інтеграла та виконання рівності (3).

Теорема доведена.

Теорема 4.	(Інтегрування НІЗП в невласному розумінні)
	Нехай , , , . Якщо функція , невід’ємна, а інтеграли , , , збігаються, причому функції , , то виконується рівність:
	,	(5)
	за умовою, що хоча б один з повторних інтегралів існує.

Доведення. Нехай існує . За ознакою Діні збігається рівномірно по на будь-якому сегменті . Тому за попередньою теоремою .

Оцінимо таку різницю: . Виберемо довільне та останню рівність перепишемо таким чином:

. (6)

Із збіжності та невід’ємності функції маємо, що : . Отже для другого доданку рівності (6), якщо будемо мати оцінку:

. (7)

Оскільки збігається на , а - неперервна, то за ознакою Діні цей інтеграл збігається рівномірно на будь-якому сегменті і :

, (8)

де вже обрано раніше в нерівності (7) число.

Тепер виберемо та оцінюючи першій доданок у правій частині рівності (6) з урахуванням (8) маємо:

. (9)

Згідно оцінок (7) та (9) дістаємо нерівність , з якої слідує, що - існує і при цьому .

Теорема доведена.