Lektsii_Rubleva_1 / Гл 07 _нтеграли залежн_ в_д параметра / Пар 7-3 Власн_ _нтеграли, залежн_ в_д параметра
.doc
Глава 7
Інтеграли, залежні від параметра
3. Власні інтеграли, залежні від параметра.
Нехай , де , , інтегрована за Ріманом на сегменті функція. Тоді на інтервалі визначимо функцію :
|
, |
(1) |
яку ми назвемо інтегралом Рімана, залежним від параметра (ІЗП).
Теорема 1. |
(Неперервність ІЗП) |
|
Якщо функція неперервна на , то . |
Доведення. Нехай - довільна точка цього проміжку, розглянемо звуження , де . З того, що - компакт - рівномірно неперервна на . Тому
, що й доводить неперервність в точці внаслідок довільності з цього й слідує, що .
Теорема доведена.
Наслідок. |
(Граничний перехід у ІЗП) |
|
В умовах попередньої теореми має місце рівність: . |
Теорема 2. |
(Неперервність складної функції ІЗП) |
|
|
Якщо функція неперервна на , а функції , то функція |
|
|
(2) |
|
|
неперервна . |
|
Доведення. Нехай - довільна точка цього проміжку. З адитивності інтегралу можемо записати:
. (3)
для першого доданку цієї формули застосуємо теорему 1, одержимо, що його границя при дорівнює . Для інших двох доданків застосуємо теорему про середнє, використавши неперервність функції :
, де - деяка середня точка між та . Тому при прямуванні внаслідок неперервності розглядуваних функцій одержимо, що , аналогічно з третім доданком формули (3). Тому при одержимо, що .
Теорема доведена.
Теорема 3. |
(Диференційованість ІЗП) |
|
|
Якщо функція має на неперервну часткову похідну , то функція (з(1)) диференційована на і її похідна обчислюється таким чином: |
|
|
(4) |
|
|
(формула Лейбниця) |
|
Доведення. За теоремою 1 є неперервною функцією на , треба довести диференційованість та рівність , це означає, що треба довести співвідношення:
(5)
Зафіксуємо довільне , і як в теоремі 1 виберемо сегмент , який містить і позначимо . З рівномірної неперервності на ми маємо, що : : .
Застосовуючи теорему про середнє, будемо мати, якщо :
, так як середня точка між і . Остаточно маємо:
,звідки і слідує рівність (5).
Теорема доведена.
Теорема 4. |
(Диференційованість складної функції ІЗП) |
|
|
Якщо в умовах теореми 2 неперервна на разом із своєю похідною , а функції і диференційовані на і її похідна обчислюється за формулою: |
|
|
(6) |
Доведення. Позначимо праву частину рівності (6) як і для довільної точки і : розглянемо приріст функції в точці та оцінимо вираз:
.
За попередньою теоремою першій доданок є , легко також оцінити два інших доданки: , де - проміжна точка, між та . З неперервності маємо:
при . Тоді маємо таку оцінку різниці:
, аналогічно оцінюється третій доданок. Підсумовуючи все це маємо формулу (6).
Нехай тепер , , , тоді можна визначити неперервні функції , на своїх областях визначення. Позначимо:
,
.
Інтеграли називаються повторними.
Теорема 5. |
(Інтегрування по параметру ІЗП) |
|
Якщо , то . |
Доведення. Розглянемо дві функції:
, , , .
Легко побачити за теоремою 3, що , а також . З останньої умови та тотожності слідує рівність , а тому при маємо, що .
Теорема доведена.
Зауважимо, що усі наведені теореми цього розділу є лише достатніми умовами.