Lektsii_Rubleva_1 / Гл 07 _нтеграли залежн_ в_д параметра / Пар 7-1 Невласн_ _нтеграли

(1)

(2)

Приклад 1.

.

Розглянемо функцію (1) , при , а тому лише при (і при цьому ця границя дорівнює . Зрозуміло з означення, що не існує при , ну і при також інтеграл розбіжний, тому що .

Теорема 1.

(Еквівалентні умови збіжності)

Нехай і , . Наступні умови еквівалентні:

1)

: ;

2)

: ;

3)

: і послідовність має скінчену границю;

4)

: і числовий ряд , де збігається.

Приклад 2.

Суттєва є довільність , бо , але не існує.

Теорема 2.

(Ознака порівняння)

Нехай функції , невід’ємні, неперервні на області визначення за винятком множин лебегової міри нуль. Якщо : виконується нерівність , то із збіжності слідує збіжність , і з розбіжності слідує розбіжність .

Наслідок 1.

(Інтегральна ознака збіжності числового ряду)

Нехай невід’ємна функція неперервна в кожній точці області визначення за виключенням множини лебегової міри нуль, то інтеграл збігається тоді і тільки тоді, коли : для якої ряд - збіжний.

Наслідок 2.

(Інтегральна ознака Коші збіжності числового ряду)

Нехай невід’ємна не зростаюча функція неперервна в кожній точці області визначення за виключенням множини лебегової міри нуль, тоді ряд збігається одночасно з інтегралом .

Теорема 3.

(Зв’язок абсолютної та умовної збіжності інтегралу)

Якщо абсолютно збігається, то він збіжний.

Теорема 4.

(Інтегрування частинами невласного інтегралу)

Нехай функції , диференційовані в кожній точці області визначення та їх похідні неперервні скрізь, за виключенням множини точок лебегової міри нуль, і крім того існує . За цих умов із збіжності одного з інтегралів , слідує збіжність іншого і при цьому виконується рівність

, яку називають формулою інтегрування частинами для невласного інтегралу першого роду.

Теорема 5.

(Заміна змінної в невласному інтегралі)

Нехай функція , функція диференційована, зростаюча, а її похідна неперервна в кожній точці , за виключенням множини лебегової міри нуль, а також , . Якщо - збігається, то і при цьому виконується рівність:

, яку називають формулою заміни змінної в невласному інтегралі першого роду.

Теорема 6.

(Лінійність невласного інтегралу)

Якщо існують інтеграли та , то функція інтегрована у невласному розумінні на проміжку та виконується рівність: .

Теорема 7.

(Практична ознака збіжності)

Нехай .

Якщо існують такі сталі та , що , то - збіжний.

Якщо існують такі сталі та , що , то - розбіжний.

Приклад 3.

Дослідити на збіжність: .

збігається при , тобто при ; інакше – розбігається.

Теорема 8.

(Ознака Абеля)

Нехай функції , такі, що - збігається, а функція - монотонна й обмежена, то - збігається.

Теорема 9.

(Ознака Діріхле)

Нехай функції , такі, що - обмежений, а функція - монотонно прямує до нуля, то - збігається.

Приклад 4.

Дослідити на абсолютну та умовну збіжність: .

1) абсолютно збіжний при .

2) а) збігається за Діріхле при , оскільки - обмежений, а монотонно прямує до нуля.

2) б) - сума збіжного та розбіжного інтегралів при - умовно збіжний.

3) При - розбіжний, що легко доводиться за критерієм Коші.

Приклад 5.

Знайти головне значення у розумінні Коші інтеграла для функції .

.