Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 М_ра Лебега / Пар 11_3 Вим_рн_ множини

Першій крок. Зафіксуємо множину та розглянемо клас множин . З симетричності визначення відносно слідує, що з умови слідує .

Другий крок. Покажемо, що - монотонний клас. Нехай дана зростаюча послідовність множин , покажемо, що . З означення границі зростаючої послідовності: , аналогічно

і

, оскільки послідовність - спадна з монотонного класу . Тому . Повністю аналогічно це ж саме перевіряється для монотонно спадної послідовності , тобто, що й . Тому - монотонний клас.

Третій крок. Нехай . Покажемо, що . Спочатку покажемо, що . Нехай . З того, що - кільце слідує, що , а тому й , тобто .Таким чином , тобто - монотонний клас, що містить . Оскільки - мінімальний подібний клас, то .

Четвертий крок. Якщо , то . Для доведення візьмемо довільну множину , тоді за доведеним на третьому кроці одержимо, що . Оскільки , то , то з доведеного на першому кроці . Таким чином , а тому й .

П’ятий крок. Покажемо тепер заключне, що - кільце. Нехай . Оскільки , то з доведеного на четвертому кроці , зокрема . Але тоді з визначення слідує, що , тобто - кільце.

Теорема доведена.

Теорема 8.	(Про єдиність мінімального продовження міри)
	Нехай - деяка алгебра, - -алгебра, породжена алгеброю . Нехай на визначені дві міри - . Якщо ці міри співпадають на , то .

Доведення. Треба показати, що : . Якщо , то це слідує з умов теореми. Якщо , то . Тому є границею монотонної послідовності , з теорем, про границю монотонних послідовностей одержимо, що

.

Теорема доведена.