Глава 11. Міра лебега.

Властивості

Міри:

1.

(Монотонність)

Якщо і , то .

2.

(Субтрактивність)

Якщо і , то .

3.

(Злічена напівадитивність)

.

Властивості

Зовнішньої міри:

1.

(зовнішня міра на алгебрі)

Якщо , то .

2.

(невід’ємність зовнішньої міри)

, а також .

3.

(монотонність зовнішньої міри)

.

4.

(напівадитивність зовнішньої міри)

.

Зауваження.

Інколи буває зручним визначати зовнішню міру аксіоматично. Дійсна функція , що визначена на -алгебрі множин називається зовнішньою мірою, якщо вона задовольняє умови:

1.

(невід’ємна);

2.

;

3.

- монотонна;

4.

- злічено-напівадитивна.

Теорема 1.

(Сукупність вимірних множин)

Сукупність вимірних множин утворює -алгебру множин, що містить в собі алгебру . Звуження зовнішньої міри на є мірою на (для -скінченої міри).

Теорема 2.

(Існування продовження міри)

Нехай - деяка алгебра, - міра на . Тоді існує -алгебра і міра на , така що її звуження на співпадає з (для -скінченої міри).

Зауваження.

Якщо - аксіоматично визначена зовнішня міра, то для неї можна визначити аналогічним чином поняття вимірності та вимірної множини. При цьому залишається чинною теорема 1.

Теорема 3.

(Про множини нульової міри)

Нехай - міра на алгебрі _, - її зовнішня міра. Якщо , то множина вимірна й .

Наслідок.

(Повнота )

Міра , що одержана як звуження зовнішньої міри на -алгебру вимірних множин є повною.

Теорема 4.

(Неперервність для об’єднання)

Нехай - міра на -алгебрі _{, якщо задана монотонно зростаюча послідовність множин , то .}

Теорема 5.

(Неперервність для перетину)

Нехай - міра на -алгебрі _{, якщо задана монотонно спадна послідовність множин , і , то .}

Теорема 6.

(Критерій вимірності)

Нехай - -скінчена міра на алгебрі множин , - продовження цієї міри на -алгебру вимірних множин . Тоді множина - вимірна () тоді і тільки тоді, коли : .

Лема 1.

(Кільце - монотонний клас)

Якщо кільце множин є монотонним класом, то - -кільце.

Теорема 7.

(Про мінімальний монотонний клас)

Нехай - деяке кільце. Позначимо через породжене кільцем -кільце, а через - мінімальний монотонний клас, що містить . Тоді .

Теорема 8.

(Про єдиність мінімального продовження міри)

Нехай - деяка алгебра, - -алгебра, породжена алгеброю . Нехай на визначені дві міри - . Якщо ці міри співпадають на , то .