Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 М_ра Лебега / Пар 11_2 Задач_ В_дкрит__замкнен_ множини

.doc
Скачиваний:
86
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
89.09 Кб
Скачать

2

Глава 11.

МІРА ЛЕБЕГА.

11.2. Відкриті, замкнені множини.

Задачі.

Номер задачі

Тема

1.36

Відкриті, замкнені множина, внутрішність, замикання, скрізь щільності, ніде не щільності.

1.37

Скрізь щільності, ніде не щільність.

1.38

Канторові множини.

1.39

Відкриті, замкнені множини, внутрішність, замикання.

1.115

Похідні множини.

1.116

Похідні множини.

1.117

Похідні множини.

1.118

Гранична точка.

2.76

Лебегова міра нуль.

2.77

Лебегова міра нуль.

  1. Довести, що:

а)

1) множини , є відкритими;

2) прообраз відкритої множини є множина відкрита;

б) кожна нескінченна не порожня замкнена множина на прямій є замиканням деякої своєї зліченої підмножини;

в) - замкненої, - відкриті такі, що та ;

г) - замкнених, - відкриті такі, що та ;

д) для функції , множина - замкнена;

  1. Навести приклад:

а) розривної функції , у якої множина є відкритою;

б) множини , для якої одночасно виконуються умови:

1) усі точки - ізольовані;

2) ;

3) ;

в) не порожніх замкнених множин , для якої ;

г) функції , у якої для довільної заданої замкненої множини виконується рівність ;

д) спадної послідовності скрізь щільних множин, для якої ;

  1. Перевірити твердження:

а) якщо , - зростаюча послідовність замкнених множин, для якої , то будь-яка замкнена множина міститься принаймні в одній з множин ;

б) якщо - спадна послідовність замкнених непорожніх множин, то ;

в) якщо - послідовність замкнених множин, для яких , то ;

  1. Дослідити на відкритість та замкненість множини:

а) відрізки - :

1) на прямій;

2) на площині;