Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 М_ра Лебега / Пар 11_2 Задач_ В_дкрит__замкнен_ множини
.doc
Глава 11.
МІРА ЛЕБЕГА.
11.2. Відкриті, замкнені множини.
Задачі.
Номер задачі |
Тема |
1.36 |
Відкриті, замкнені множина, внутрішність, замикання, скрізь щільності, ніде не щільності. |
1.37 |
Скрізь щільності, ніде не щільність. |
1.38 |
Канторові множини. |
1.39 |
Відкриті, замкнені множини, внутрішність, замикання. |
1.115 |
Похідні множини. |
1.116 |
Похідні множини. |
1.117 |
Похідні множини. |
1.118 |
Гранична точка. |
2.76 |
Лебегова міра нуль. |
2.77 |
Лебегова міра нуль. |
-
Довести, що:
а)
1) множини , є відкритими;
2) прообраз відкритої множини є множина відкрита;
б) кожна нескінченна не порожня замкнена множина на прямій є замиканням деякої своєї зліченої підмножини;
в) - замкненої, - відкриті такі, що та ;
г) - замкнених, - відкриті такі, що та ;
д) для функції , множина - замкнена;
-
Навести приклад:
а) розривної функції , у якої множина є відкритою;
б) множини , для якої одночасно виконуються умови:
1) усі точки - ізольовані;
2) ;
3) ;
в) не порожніх замкнених множин , для якої ;
г) функції , у якої для довільної заданої замкненої множини виконується рівність ;
д) спадної послідовності скрізь щільних множин, для якої ;
-
Перевірити твердження:
а) якщо , - зростаюча послідовність замкнених множин, для якої , то будь-яка замкнена множина міститься принаймні в одній з множин ;
б) якщо - спадна послідовність замкнених непорожніх множин, то ;
в) якщо - послідовність замкнених множин, для яких , то ;
-
Дослідити на відкритість та замкненість множини:
а) відрізки - :
1) на прямій;
2) на площині;