Lektsii_Rubleva_1 / Гл 06 Ряди / Пар 6-2 Достатн_ ознаки зб_жност_

Глава 6

Ряди

6.2. Достатні ознаки збіжності знакосталих рядів

В цьому розділі будемо вважати сі ряди, які ми розглядаємо, є знакосталими, і навіть рядами з додатними членами. Зрозуміло, що для рядів з від’ємними членами мають місце аналогічні властивості.

Теорема 0.	(Критерій збіжності знакосталого ряду)
	Ряд - збіжний послідовність його часткових сум - обмежена.

Доведення. Монотонно зростаюча послідовність збіжна в тоді і тільки тоді, коли вона обмежена.

Теорема доведена.

Нагадаємо, що дві послідовності дійсних чисел пов’язані співвідношенням , якщо існує така послідовність (обмежена послідовність), для якої . В такому разі послідовність називають мажорантою для послідовності .

Теорема 1.	(Ознака мажорації)
	Нехай послідовність є мажорантою для послідовності , то: якщо ряд збіжний, то ряд також збіжний; навпаки, з умови розбіжності ряду слідує також розбіжність ряду .

Доведення. Нехай ряд збіжний, тоді послідовність його часткових сум монотонно зростає і обмежена. З умови слідує, що , де . Але тоді послідовність також є обмеженою, крім того вона монотонно зростає, а тому є збіжною. З цього і слідує збіжність ряду .

Якщо ряд розбіжний, то послідовність необмежена, але тоді і послідовність також не обмежена, бо вона мажорує послідовність . З цього слідує розбіжність ряду .

Теорема доведена.

Теорема 2.	(Ознака порівняння)
	Якщо ряд збіжний, та існує номер , починаючи з якого виконуються нерівності , то ряд також збіжний.

Доведення. Перепишемо задану нерівність у вигляді: , а тому виконується така оцінка . А тому , тобто , і за теоремою 1 ряд збіжний.

Теорема доведена.

Зі школи добре відомо, що ряд , тобто сума геометричної прогресії, є збіжним тоді і тільки тоді, коли . Якщо вибрати в останній теоремі в якості збіжного ряду геометричну прогресію (тобто ), отримаємо такі дві ознаки.

Теорема 3.	(Узагальнена радикальна ознака Коші)
	Для ряду позначимо , тоді: якщо , то ряд - збіжний; якщо , то ряд - розбіжний.

Доведення. Нехай Перепишемо визначення верхньої границі таким чином: . Виберемо число таким чином, щоб . Тоді існує такий номер , що . А тому . Звідси маємо , а тому . З того, що ряд - збіжний та з теореми 1 слідує, що й ряд є збіжним.

Якщо , то виберемо , таке що . Тоді : . Але тоді існує така підпослідовність , що . Бо інакше, якщо остання нерівність виконується тільки для скінченої кількості членів послідовності, то позначимо через найбільший номер з них, тоді , що суперечить одержаній нерівності. А тоді з існування вказаної підпослідовності слідує, що , а це суперечить необхідній умові збіжності ряду, а тому ряд - розбіжний.

Теорема доведена.

Приклад 1.	Дослідити на збіжність ряд .
	Застосуємо одержану ознаку. Знайдемо вказану верхню границю. а тому ряд збіжний.

Наслідок.	(Радикальна ознака Коші)
	Якщо для ряду існує границя , тоді: якщо , то ряд - збіжний; якщо , то ряд - розбіжний.

Теорема 4.	(Узагальнена ознака д’Аламбера)
	Якщо для ряду , то ряд - збіжний.

Доведення. Знову виберемо число таким, щоб виконувались умови: . Тоді, починаючи з деякого номера , одержимо, що , і за теоремою 2 ряд збіжний.

Теорема доведена.

Наслідок.	(Ознака д’Аламбера)
	Якщо для ряду існує границя , тоді: якщо , то ряд - збіжний; якщо , то ряд - розбіжний.

Доведення. Перша частина безпосередньо слідує з теореми, бо якщо існує границя послідовності, то вона співпадає із своєю верхньою границею.

Доведемо другу частину. За умовою . Виберемо число таким, щоб виконувались умови: . Тоді, починаючи з деякого номера , одержимо, що , і за теоремою 2 ряд розбіжний.

Наслідок доведено.

Приклад 2.	Покажемо, що з умови не обов’язково слідує розбіжність ряду .
	Розглянемо ряд , де , , . Легко зрозуміти, що цей ряд збіжний, бо послідовність її часткових сум обмежена, бо , а тому і ряд - збіжний. Якщо ж розглянути відношення , то для непарних одержимо: , , а тому й .
Приклад 3.	Дослідити на збіжність ряд .
	Застосуємо ознаку д’Аламбера , а тому ряд збіжний.

Теорема 5.	(Про рівнозбіжність рядів)
	Нехай послідовність не зростаюча. Тоді ряд збіжний чи розбіжний одночасно з рядом .

Доведення. Розглянемо такі позначення для часткових сум , .

Якщо , то

, а тому

. (1)

Якщо , то

, тобто

. (2)

Якщо ряд збіжний, то послідовність обмежена, а тому обмеженою є також послідовність , що слідує з нерівності (1), тоді й ряд є збіжним. Якщо ж ряд розбіжний, то відповідна послідовність часткових сум необмежена, а тому й послідовність також необмежена, що слідує з нерівності (2). А з останнього слідує, що ряд - розбіжний. Повністю аналогічно в зворотному порядку.

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(Збіжність степеневого ряду)
	Степеневий ряд збіжний, якщо , та розбіжний якщо .

Доведення. Якщо , то розбіжність цього ряду слідує з необхідної умови збіжності ряду, тобто загальний член ряду не прямує до нуля. Нехай тепер , використаємо теорему, розглянемо ряд , а це є геометрична прогресія із знаменником . Цей ряд збіжний при , тобто при , та розбіжний в іншому випадку.

Наслідок доведено.

Наслідок 2.	(Збіжність степенево-логарифмічного ряду)
	Ряд збіжний при , та розбіжний при .

Доведення. Знову розглянемо рівнозбіжний ряд, про який йдеться у відповідній теоремі. , а далі залишається скористатися наслідком 1.

Наслідок доведено.

Теорема 6.	(Ознака Куммера)
	Якщо для ряду існує послідовність додатних чисел така, що: ряд - розбіжний; числа одного знаку. Тоді ряд збіжний, якщо існує , для якого ; якщо ж , то цей ряд розбіжний.

Доведення. Спочатку розглянемо перший випадок, коли існує , для якого виконуються нерівності: . Тоді можемо записати: . Записуючи ці нерівності послідовно для , одержимо:

............................

Додамо ці нерівності і будемо мати:

, і так як , то , тобто послідовність обмежена, а тому і збіжна.

Нехай тепер , тоді можемо записати це у такому вигляді: . Продовжуючи це, маємо:

, звідки з розбіжності ряду слідує розбіжність і ряду .

Ознака доведена.

Наслідок.	(Ознака Куммера в граничній формі)
	Якщо для ряду існує послідовність додатних чисел така, що: ряд - розбіжний; . Тоді при ряд збіжний; а при , цей ряд розбіжний.

Доведення. Якщо , то : , а тепер достатньо застосувати ознаку Куммера. Аналогічно для від’ємного .

Наслідок доведено.

Теорема 7.	(Ознака Раабе)
	Якщо для ряду виконується умова , то при цей ряд збігається, а при - розбігається.

Доведення. Застосуємо ознаку Куммера, поклавши , зрозуміло, що при цьому ряд - розбіжний. Тоді

, а далі залишається використати ознаку Куммера в граничній формі.

Теорема доведена.

Теорема 8.	(Ознака Гаусса)
	Якщо для ряду виконується умова , де , , - сталі, а послідовність , то ряд : -збіжний, якщо , або ; - розбіжний , якщо , або .

Доведення. Випадок безпосередньо слідує з ознаки д’Аламбера. Випадок - це наслідок з ознаки Раабе. Залишається розглянути випадок . Тобто ми маємо рівність: . Застосуємо ознаку Кум мера, вибравши в якості послідовності , як було показано вище, степенево-логарифмічний ряд розбіжний. Тоді маємо:

.

Перший доданок прямує до нуля, а другий до , тому що для логарифму можна скористатися відомою формулою еквівалентності: . Таким чином , і з ознаки Куммера цей ряд розбіжний.

Теорема доведена.

Приклад 4.	Дослідити на збіжність ряд .
	Застосуємо ознаку Гаусса. . Таким чином , а тому ряд збіжний при , тобто при , та розбіжний при .