Lektsii_Rubleva_1 / Гл 06 Ряди / Пар 6-6 Р_вном_рна зб_жн_сть

2

Глава 6

Ряди

6.6. Рівномірна збіжність ФП та ФР

Нехай в цьому розділі виконується умова: всі функції, що розглядаються визначені на спільній множині .

Функціональна послідовність називається рівномірно збіжною до функції на множині , якщо при . При цьому функція називається рівномірною границею ФП саму збіжність будемо позначати як , або , якщо важливий сам факт рівномірної збіжності, а не рівномірна границя.

Теорема 1.	(Зв’язок рівномірної та поточкової збіжності ФП)
	Якщо на множині , то на також .

Доведення. З означення рівномірної збіжності можемо записати оцінку: , з якої все слідує.

Теорема доведена.

Наслідок.	(Єдність рівномірної границі)
	Якщо на множині , то її рівномірна границя єдина.

Все слідує з того, що поточкова границя також єдина.

Теорема 2.	(Лінійність рівномірної границі)
	Якщо на множині , , то виконується умова: .

Доведення просто слідує з нерівності: .

Приклад.	Показати, що з умови , , на множині не обов’язково слідує умова .
	Розглянемо приклад: , , , . За побудовою очевидно, що , . Функція , . Тепер знайдемо при , що й треба було показати.

Теорема 3.	(Рівномірна збіжність добутку)
	Якщо на множині , , а також послідовності та обмежені, то на множині .

Доведення. Зробимо перетворення: . Покажемо спочатку, що . Дійсно: , а далі все слідує з відомих теорем про дії з символами Ландау: , .

Теорема доведена.

ФП називається рівномірно фундаментальною, якщо : .

Теорема 4.	(Критерій Коші для ФП)
	ФП рівномірно збіжна тоді і тільки тоді, коли вона рівномірно фундаментальна.

Доведення. Необхідність. : необхідність доведена.

Достатність. маємо оцінку , яка виконується для всіх натуральних . З цього слідує фундаментальність числової послідовності при довільному фіксованому . А тому існує , яку ми позначимо . Виберемо довільне , оскільки - рівномірно фундаментальна, то : в останній нерівності перейдемо до границі при . Дістанемо, що виконується нерівність . Перейдемо до супремуму по одержимо, що , звідки і слідує, що .

Теорема доведена.

ФР називається рівномірно збіжним, якщо послідовність його часткових сум рівномірно збігається. ФР задовольняє рівномірну умову Коші, якщо послідовність його часткових сум рівномірно фундаментальна.

Теорема 5.	(Критерій Коші для ФР)
	ФР рівномірно збіжний тоді і тільки тоді, коли він задовольняє рівномірну умову Коші.

Це є просте пере формулювання теореми 4 для послідовностей.