Lektsii_Rubleva_1 / Гл 06 Ряди / Пар 6-3 Достатн_ ознаки зб_жност_ дов_льних ряд_в

3

Глава 6

Ряди

6.3. Достатні ознаки збіжності рядів з довільними членами

Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд . Ряд називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд розбігається.

Теорема 1.	(Зв’язок абсолютної та умовної збіжності рядів)
	Якщо ряд абсолютно збіжний, то він є збіжним.

Доведення. Запишемо критерій Коші збіжності ряду : : . Але звідси слідує нерівність , а тому для ряду виконується критерій Коші, а тому цей ряд збіжний.

Теорема доведена.

Приклад 1.	Показати, що твердження, зворотне до теореми 1 не має місця.
	Для цього достатньо розглянути такий ряд: . Як слідує з збіжності степеневого ряду ряд, що складається з модулів є розбіжним. З теорії послідовностей ми знаходили границю такої послідовності: а це означає збіжність вказаного ряду.

Теорема 2.	(Перетворення Абеля)
	Для будь-якого натурального та послідовностей виконується рівність (перетворення Абеля):
		(1)

Доведення. .

Теорема доведена.

Теорема 3.	(Рівнозбіжність рядів, пов’язаних перетворенням Абеля)
	Розглянемо два числових ряди , . Якщо послідовність збігається, то обидва наведених ряди збігаються чи розбігаються одночасно.

Доведення безпосередньо слідує з перетворення Абеля Якщо позначити часткові суми вказаних рядів як та , то з перетворення Абеля ми одержимо таке співвідношення: , а далі залишається скористатися умовами теореми (тобто про збіжність послідовності ) та відомою теоремою про арифметичні дії над збіжними послідовностями.

Теорема доведена.

Послідовність має обмежену варіацію, якщо ряд є абсолютно збіжним. Множину усіх послідовностей з обмеженою варіацією позначимо через .

Теорема 4.	(Про послідовність з обмеженою варіацією)
	Якщо , то .

Доведення. Запишемо вказану послідовність у вигляді: , . Тоді з того, що має обмежену варіацію, слідує абсолютна збіжність ряду , а тому і просто збіжність того ж ряду, але це означає, що збіжною є послідовність його часткових сум, тобто послідовності .

Теорема доведена.

Теорема 5.	(Ознака Абеля-Діріхле)
	Нехай для послідовностей виконуються такі умови: , , послідовність збіжна в , то ряд - збіжний.

Доведення. Оскільки ряд абсолютно збіжний, а , то ряд також абсолютно збіжний (а тому і просто збіжний), що слідує з мажорантної ознаки для рядів. Із збіжності послідовності та з теореми 3 слідує також збіжність ряду , що й треба було довести.

Теорема доведена.

Теорема 6.	(Ознака Абеля)
	Якщо ряд збігається, а послідовність , то ряд - збіжний.

Доведення. Із збіжності ряду слідує, що послідовність його часткових сум - збіжна, а тому і обмежена, крім того послідовність збіжна, як добуток двох збіжних послідовностей (теорема 4), а далі усе слідує з теореми 5.

Ознака доведена.

Теорема 7.	(Ознака Діріхле)
	Якщо послідовність , і , а для послідовності , то ряд - збіжний.

Доведення. З умов та слідує, що послідовність , тобто збіжна, а далі все слідує з теореми 5.

Ознака доведена.

Теорема 8.	(Ознака Лейбніца)
	Якщо послідовність , і , то ряд - збіжний.

Доведення. Покладемо , тоді очевидно, що послідовність , і далі за попередньою теоремою.

Теорема доведена.

Якщо в попередній теоремі ряд задовольняє умову , то він називається знакопереміжним.

Теорема 9.	(Про монотонну обмежену послідовність)
	Якщо послідовність монотонна й обмежена, то.

З теореми Вейєрштрасса послідовність збігається, а тому збігається ряд , , послідовністю часткових сум якого як раз і є послідовність . З монотонності цієї послідовності ряд - знакосталий, а тому його збіжність рівносильна абсолютній збіжності, що й означає, що .

Теорема доведена.

Теорема 10.	(Класична ознака Абеля)
	Якщо ряд збігається, а послідовність - монотонна й обмежена, то ряд - збіжний.
Теорема 11.	(Класична ознака Діріхле)
	Якщо послідовність монотонно прямує до нуля, а для послідовності , то ряд - збіжний.
Теорема 12.	(Класична ознака Лейбніца)
	Якщо послідовність знакостала та монотонно прямує до нуля, то ряд - збіжний.

Усі ці теореми слідують з відповідних ознак та теореми 9.

Ряд, що збігається за умовами теореми 12 називається рядом Лейбніца.