Lektsii_Rubleva_1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-05 Теореми про середнє
.doc
Глава 4
Інтеграл Рімана
5. Теореми про середнє, інтеграл Рімана як функція меж інтегрування
Теорема 1. |
(Перша теорема про середнє). |
|
|
Якщо і , то має місце рівність: |
|
|
, |
(1) |
|
де |
Доведення. За теоремою з попередньої теми: . Нехай , де . Якщо , то усе очевидно. Нехай тепер , тоді позначимо , для якої . Аналогічно доводиться для .
Теорема доведена.
Наслідок 1. |
(Для неперервної функції). |
|
|
Якщо в умовах теореми про середнє , то формула (1) набуває вигляду: |
|
|
, |
(2) |
|
де . |
Це очевидний наслідок теореми Коші про проміжні значення.
Наслідок 2. |
(Оцінка інтегралу від неперервної функції). |
|
Якщо , то : . |
Приклад 1. |
Оцінити інтеграл: . |
1) |
. |
2) |
. |
Нехай . Назвемо функцію , де , інтегралом як функцією верхньої межі (ІФВМ). Зрозуміло, що вона існує, бо .
Теорема 2. |
(Неперервність ІФВМ). |
|
Якщо , то |
Доведення. Оскільки , то вона обмежена, тому : . Тоді маємо: неперервна .
Теорема доведена.
Теорема 3. |
(Похідна ІФВМ). |
|
Якщо , то диференційована в кожній точці , в якій неперервна і при цьому в цих точках . |
Доведення. Нехай неперервна в точці : , з чого й слідує твердження теореми, що .
Теорема доведена.
Наслідок 1. |
(Похідна ІФВМ для неперервної функції) |
|
Якщо , то . |
Наслідок 2. |
(ІФВМ як первісна в широкому розумінні) |
|
Якщо і множина її точок розриву не більш як злічена, то є первісною в широкому розумінні функції на . |
Доведення наслідку. і де неперервна , тобто - первісна в широкому розумінні.
Наслідок доведено.
Теорема 4. |
(Основна формула інтегрального числення) |
|
|
Якщо і множина точок розриву не більш ніж злічена, - будь-яка первісна в широкому розумінні функції на , тоді виконується рівність (формула Ньютона-Лейбніца): |
|
|
. |
(3) |
Доведення. Нехай - довільна первісна (в широкому розумінні) функції на , тоді функція - ІФВМ є також первісною в широкому розумінні (за теоремою 3 та наслідку з неї), але тоді за зв’язком між первісними в широкому розумінні : .
Теорему доведено.
Теорема 5. |
(друга теорема про середнє) |
||
1) |
Нехай - монотонна функція, . Тоді , для якого виконується рівність: |
||
|
(4) |
||
2) |
Якщо при цьому не зростає на і , то : |
||
|
(5) |
||
3) |
Якщо - не спадає на і , то : |
||
|
(6) |
Доведення. Доведемо спочатку (5):
Якщо все очевидно, і формула справджується .
Нехай . Оскільки - монотонна, то для довільного розбиття маємо: .
Внаслідок обмеженості , а також нерівності . Де - коливання на проміжку , де .
З умови : .
Розглянемо : , . і , і якщо позначити , , , де , , .
Нехай , з умови монотонності , тобто , і , ми одержимо: . (Наприклад: ).
Але тоді в силу довільності ми маємо: , але так як , то : .
Аналогічно доводиться (6).
Нехай тепер - монотонна і, наприклад, зростає, тоді (або ), і задовольняють умовам 2) (або 3)), внаслідок чого :
.
. Аналогічно, якщо - спадає.
Теорему доведено.
Приклад 2. |
Оцінити , |
|
, ; ; . |
Нехай , , , , і диференційована в кожній точці . Розглянемо функцію , де , тоді . Тоді, за правилом диференціювання складної функції, ми маємо: :
. (7)
Аналогічно, для , , , то для функції , де ,
. (8)
З чого остаточно ми маємо правило диференціювання складної функції меж інтегрування.
Теорема 6. |
(Диференціювання складної функції меж інтегрування) |
|
|
Якщо , , , , , диференційовані , тоді має місце формула: |
|
|
. |
(8) |
Приклад 3. |
Якщо послабити вимоги на неперервність і , і вимагати диференційованими їх на за виключенням не більш як зліченої множини точок, то і формула (8) справджується скрізь крім цієї зліченої множини точок.
Теорема 7. |
(заміна змінної в інтегралі Рімана) |
|
|
Нехай : 1) , 2) , - диференційована на і , , , , тоді має місце рівність: |
|
|
, |
(9) |
|
яка називається формулою заміни змінної в інтегралі Рімана. |
|
Доведення. Нехай - первісна функції на , тоді - первісна функції на , оскільки
.
Теорема доведена.
Приклад 4. |
. |
Теорема 8. |
(Інтегрування частинами) |
|
|
Нехай - диференційовані функції і , тоді і виконується рівність: |
|
|
, |
(10) |
|
яку називають формулою інтегрування частинами. |