Lektsii_Rubleva_1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-03 _нтеграл Р_мана на дов_льн_й множин_
.doc
Глава 4
Інтеграл Рімана
3. Інтеграл Рімана на довільній множині
Нехай , функція , де називається характеристичною функцією множини (ХФ).
Нехай , - обмежена функція. Якщо , то покладемо: .
Нехай , - обмежена функція. Продовжимо на весь : . Якщо , то покладемо - цей інтеграл називається інтегралом Рімана функції по множині .
Властивість. |
(Інтеграл Рімана по одноточковій множині) |
|
Для довільної обмеженої функції і виконується рівність . |
Нехай - впорядкований (частково впорядкований) простір, - деяка множина з . Межею називається множина таких точок, кожна з яких є точкою дотикання як , так і . Точки множини називаються межовими, або точками на межі.
Приклад 1. |
Знайти межові точки множин: , , , . |
Теорема 1. |
(Інтегрованість ХФ) |
|
Нехай . Функція належить міра Лебега множини дорівнює нулю. |
Доведення теореми. , якщо інтеграл справа існує. Нехай - внутрішня точка неперервна в усіх внутрішніх точках множини . Якщо - внутрішня точка , то аналогічно - неперервна. Якщо розривна в точках множина точок розриву співпадає з множиною за теоремою Лебега множина має лебегова міру нуль.
Теорему доведено.
Обмежена множина , межа якої має лебегова міру нуль називається вимірною за Жорданом, або жордановою, а інтеграл називається жордановою мірою множини (або її довжиною і назначається ).
Приклад 2. |
Які з множин вимірні за Жорданом. |
|
; ; . |
|
- не вимірні - вимірна. |
Теорема 2. |
(Властивості жорданових множин) |
|
Нехай - жорданові множини. Тоді: |
1) |
- жорданова множина. |
2) |
- жорданову множина і якщо , то . |
3) |
- жорданову множина, і, якщо , то . |
Доведення теореми. Вимірність за Жорданом очевидна. Нехай і містить множину : .
Якщо і .
Теорему доведено.
Теорема 3. |
(Інтегрованість композиції функцій) |
|
Нехай , , , . . |
Доведення теореми. міра Лебега точок розриву дорівнює нулю. Композиція неперервна в кожній точці неперервності міра Лебега точок розриву дорівнює нулю .
Приклад 3. |
Якщо в умовах теореми 3 замінити умову на , то не обов’язково . |
|
; - функція Рімана функція Діріхле. |