Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva_1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-06 Застосування _нтегралу Р_мана

.doc
Скачиваний:
142
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
347.14 Кб
Скачать

4

Глава 4

Інтеграл Рімана

6. Застосування інтеграла Рімана

Якщо ставиться у відповідність значення деякої величини , то кажуть, що на сегменті задано функцію проміжку (ФП) .

Приклад 1.

може бути площею під графіка деякої функції , довжиною дуги, або чи .

Функція проміжку називається адитивною функцією проміжку (АФП), якщо виконується рівність:

. (1)

Приклад 2.

Серед наведених ФП у прикладі 1 АФП є перші три, а остання – ні.

Теорема 1.

(Зв’язок АФП та інтеграла Рімана)

Якщо для АФП , що визначена на , існує функція : виконується співвідношення:

, то

(2)

(3)

Доведення. Нехай - довільне розбиття точками , , , . Оскільки , то при ліва то права частини прямують для , з чого й слідує (3).

Теорему доведено.

Нехай ; .Розглянемо криволінійну трапецію і нехай . Позначимо площу відповідної криволінійної трапеції (рис. 1). Тоді згідно з нашими уявленнями про площу:

(4)

Рис. 1

Таким чином, з теореми 1 слідує, що доведена

Теорема 2.

(Обчислення площі криволінійної трапеції)

Якщо ,, то площа підграфіка , що знаходиться вище осі абсцис обчислюється за формулою (4).

Наслідок 1.

Якщо плоска фігура обмежена знизу та зверху графіками функцій відповідно, а з боків – відрізками прямих (рис. 2), то її площа може бути обчисленою за формулою:

Рис. 2

(5)

Криволінійним сектором називається плоска фігура, що обмежена променями, які виходять з полюса і утворюють з полярною віссю кути та і неперервною кривою .

Тоді, згідно уявлень про площу, ми маємо: і (рис. 3): .

Рис. 3

(6)

Таким чином, нами доведена

Теорема 3.

(Обчислення площі криволінійного сектора)

Площа криволінійного сектора обчислюється за формулою (6).

Розглянемо випадок параметричної функції, наприклад, функцію , ми параметрично задамо умовою:. При цьому функції неперервно-диференційовані та , і , - замкнена крива.

При цьому крива оббігається в додатному напрямі, тобто область залишається завжди зліва. Зрозуміло, що площа (верхня трапеція відняти нижню) ;

Рис. 4

, (7)

інтегруванням частинами можна також одержати, що:

, (8)

або взагалі, якщо взяти середнє арифметичне одержимо третю формулу для обчислення площі області, межа якої задана параметрично:

. (9)

Нехай , . Знайти об’єм тіла обертання такої трапеції навколо осі . Позначивши об’єм, утворений обертання шматочка трапеції при

. (10)

Аналогічно, якщо тіло знаходиться між площинами та , і відомі її площі перерізів площинами , то

. (11)

Назвемо множину гладким шляхом, якщо , тобто і . Нехай , , то кажуть, що шлях сполучає точки і , а функція - параметричне зображення шляху.

Нехай - вектор швидкості матеріальної точки, що пробігає шлях його модуль в момент . З уявлень про довжину шляху:

, (12)

або , (13)

якщо .

Повністю аналогічно до формули (12) можна одержати формулу для обчислення довжини шляху (дуги) матеріальної точки , що рухається в тривимірному просторі за законом :

. (14)

І нарешті, якщо , а

. (15)