Lektsii_Rubleva_1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-06 Застосування _нтегралу Р_мана
.doc
Глава 4
Інтеграл Рімана
6. Застосування інтеграла Рімана
Якщо ставиться у відповідність значення деякої величини , то кажуть, що на сегменті задано функцію проміжку (ФП) .
Приклад 1. |
може бути площею під графіка деякої функції , довжиною дуги, або чи . |
Функція проміжку називається адитивною функцією проміжку (АФП), якщо виконується рівність:
. (1)
Приклад 2. |
Серед наведених ФП у прикладі 1 АФП є перші три, а остання – ні. |
Теорема 1. |
(Зв’язок АФП та інтеграла Рімана) |
|
|
Якщо для АФП , що визначена на , існує функція : виконується співвідношення: |
|
|
, то |
(2) |
|
(3) |
Доведення. Нехай - довільне розбиття точками , , , . Оскільки , то при ліва то права частини прямують для , з чого й слідує (3).
Теорему доведено.
|
Нехай ; .Розглянемо криволінійну трапецію і нехай . Позначимо площу відповідної криволінійної трапеції (рис. 1). Тоді згідно з нашими уявленнями про площу:
|
|
(4) |
||
Рис. 1 |
Таким чином, з теореми 1 слідує, що доведена
Теорема 2. |
(Обчислення площі криволінійної трапеції) |
|
Якщо ,, то площа підграфіка , що знаходиться вище осі абсцис обчислюється за формулою (4). |
Наслідок 1. |
Якщо плоска фігура обмежена знизу та зверху графіками функцій відповідно, а з боків – відрізками прямих (рис. 2), то її площа може бути обчисленою за формулою: |
|
|
Рис. 2 |
|||
|
(5) |
Криволінійним сектором називається плоска фігура, що обмежена променями, які виходять з полюса і утворюють з полярною віссю кути та і неперервною кривою .
Тоді, згідно уявлень про площу, ми маємо: і (рис. 3): . |
|
|
Рис. 3 |
||
(6) |
Таким чином, нами доведена
Теорема 3. |
(Обчислення площі криволінійного сектора) |
|
Площа криволінійного сектора обчислюється за формулою (6). |
Розглянемо випадок параметричної функції, наприклад, функцію , ми параметрично задамо умовою:. При цьому функції неперервно-диференційовані та , і , - замкнена крива.
При цьому крива оббігається в додатному напрямі, тобто область залишається завжди зліва. Зрозуміло, що площа (верхня трапеція відняти нижню) ; |
|
Рис. 4 |
, (7)
інтегруванням частинами можна також одержати, що:
, (8)
або взагалі, якщо взяти середнє арифметичне одержимо третю формулу для обчислення площі області, межа якої задана параметрично:
. (9)
Нехай , . Знайти об’єм тіла обертання такої трапеції навколо осі . Позначивши об’єм, утворений обертання шматочка трапеції при
. (10)
Аналогічно, якщо тіло знаходиться між площинами та , і відомі її площі перерізів площинами , то
. (11)
Назвемо множину гладким шляхом, якщо , тобто і . Нехай , , то кажуть, що шлях сполучає точки і , а функція - параметричне зображення шляху.
Нехай - вектор швидкості матеріальної точки, що пробігає шлях його модуль в момент . З уявлень про довжину шляху:
, (12)
або , (13)
якщо .
Повністю аналогічно до формули (12) можна одержати формулу для обчислення довжини шляху (дуги) матеріальної точки , що рухається в тривимірному просторі за законом :
. (14)
І нарешті, якщо , а
. (15)