Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva_1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-01 Звязок _нтеграл_в Р_мана та Ньютона-Лейбн_ца

.doc
Скачиваний:
139
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
132.61 Кб
Скачать

2

Глава 4

Інтеграл Рімана

1. Зв’язок між інтегралом Рімана та визначеним інтегралом Ньютона-Лейбніца

Множина точок , де називається розбиттям сегмента . Множина точок називається сукупністю проміжних точок. Величина називається діаметром (нормою) розбиття.

Нехай . Сума називається інтегральною сумою Рімана, де - розбиття, а - сукупність проміжних точок.

Число називається інтегралом Рімана функції на сегменті , якщо .

Теорема 1.

(Інтегральні суми для інтеграла Ньютона-Лейбніца).

Нехай інтегрована в розумінні Ньютона-Лейбніца на . Тоді існує така , що виконується рівність:

(1)

Доведення теореми. Нехай - первісна на , тоді , (за теоремою Лагранжа) .

Теорему доведено.

Теорема 2.

(Рівність інтегралів Рімана та Ньютона-Лейбніца).

Якщо інтеграли Рімана та Ньютона-Лейбніца функції існують одночасно, то вони рівні один одному.

Доведення. Нехай - інтеграл Рімана .

Теорема доведена.

Теорема 3.

(Інтегрованість за Ріманом неперервної функції).

Якщо , то вона інтегрована за Ріманом на .

Доведення. Нехай - інтеграл Ньютона-Лейбніца функції на . За теоремою 1 . Тоді . (2)

За теоремою Кантора - рівномірно неперервна на : .

Нехай , тоді з (2) буде слідувати - інтегрована за Ріманом.

Теорему доведено.