Lektsii_Rubleva_1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-01 Звязок _нтеграл_в Р_мана та Ньютона-Лейбн_ца
.doc
Глава 4
Інтеграл Рімана
1. Зв’язок між інтегралом Рімана та визначеним інтегралом Ньютона-Лейбніца
Множина точок , де називається розбиттям сегмента . Множина точок називається сукупністю проміжних точок. Величина називається діаметром (нормою) розбиття.
Нехай . Сума називається інтегральною сумою Рімана, де - розбиття, а - сукупність проміжних точок.
Число називається інтегралом Рімана функції на сегменті , якщо .
Теорема 1. |
(Інтегральні суми для інтеграла Ньютона-Лейбніца). |
|
|
Нехай інтегрована в розумінні Ньютона-Лейбніца на . Тоді існує така , що виконується рівність: |
|
|
(1) |
Доведення теореми. Нехай - первісна на , тоді , (за теоремою Лагранжа) .
Теорему доведено.
Теорема 2. |
(Рівність інтегралів Рімана та Ньютона-Лейбніца). |
|
Якщо інтеграли Рімана та Ньютона-Лейбніца функції існують одночасно, то вони рівні один одному. |
Доведення. Нехай - інтеграл Рімана .
Теорема доведена.
Теорема 3. |
(Інтегрованість за Ріманом неперервної функції). |
|
Якщо , то вона інтегрована за Ріманом на . |
Доведення. Нехай - інтеграл Ньютона-Лейбніца функції на . За теоремою 1 . Тоді . (2)
За теоремою Кантора - рівномірно неперервна на : .
Нехай , тоді з (2) буде слідувати - інтегрована за Ріманом.
Теорему доведено.