Lektsii_Rubleva_1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-02 Теор_я _нтеграла Р_мана
.doc. (5)
Нехай множина тих сегментів, що перетинаються з . Вони покривають і
. (6)
Нерівність (5) запишемо у вигляді:
, (7)
де - міра сегмента . З (6) та (7) одержимо:
має жорданову, а тому й лебегову міру нуль. З властивостей множин лебегової міри нуль множина також має лебегова міру нуль.
Достатність. Нехай має лебегову міру нуль. позначимо , тоді і . За теоремою 4 про замкнену множину - компакт він має жорданову міру нуль існує скінчений набір інтервалів , що покриває : та , де як і раніше - міра інтервалу .
Нехай довільне розбиття, в яке входять кінці інтервалів . З обмеженості слідує, що : , а тому й
.
Якщо - сегмент розбиття такий, що , то з теореми 5 про оцінку інтегральних сум існує його під розбиття на : а також .
Розглянемо розбиття , в яке входять кінці інтервалів та . Тоді .
З фіксованості маємо, що .
Теорема доведена.
Наслідок. |
(класи інтегрованих за Ріманом функцій). |
|
Обмежена функція є інтегрованою за Ріманом, якщо: |
1. |
; |
2. |
- монотонна на . |
Приклад 2. |
Дослідити на інтегрованість за Ріманом на функції: |
|
1. |
; |
|
2. |
функція Рімана ; |
|
3. |
функція Діріхле . |
|
Розв’язання. |
1) |
З того, що множина точок розриву співпадає з множиною , а тому має лебегова міру нуль (хоча має потужність континуум), звідси . |
|
2) |
Множина точок розриву функції Рімана є усі раціональні точки, а тому , з того що на будь-якому проміжку функція приймає нульові значення, а тому існує нульова інтегральна сума Рімана, з чого очевидно, що ; |
|
3) |
Множина точок розриву функції Діріхле це усі дійсні числа, тому вона має міру , . |
Зауважимо, що довільна стала функція є первісною в широкому розумінні обох функцій – і функції Рімана, і функції Діріхле. Вона неперервна та її похідна співпадає з відповідною функцією скрізь, за виключенням зліченої множини точок. Тому існування первісної в широкому розумінні ще не гарантує інтегрованість за Ріманом, а інтегрованість за Ньютоном-Лейбніцем залежить від існування первісної (точної).