Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-03 _нтеграл Р_мана на дов_льн_й множин_

3

Глава 4

Інтеграл Рімана

3. Інтеграл Рімана на довільній множині

Нехай , функція , де називається характеристичною функцією множини (ХФ).

Нехай , - обмежена функція. Якщо , то покладемо: .

Нехай , - обмежена функція. Продовжимо на весь : . Якщо , то покладемо - цей інтеграл називається інтегралом Рімана функції по множині .

Властивість.	(Інтеграл Рімана по одноточковій множині)
	Для довільної обмеженої функції і виконується рівність .

Нехай - впорядкований (частково впорядкований) простір, - деяка множина з . Межею називається множина таких точок, кожна з яких є точкою дотикання як , так і . Точки множини називаються межовими, або точками на межі.

Приклад 1.

Знайти межові точки множин: , , , .

Теорема 1.	(Інтегрованість ХФ)
	Нехай . Функція належить міра Лебега множини дорівнює нулю.

Доведення теореми. , якщо інтеграл справа існує. Нехай - внутрішня точка неперервна в усіх внутрішніх точках множини . Якщо - внутрішня точка , то аналогічно - неперервна. Якщо розривна в точках множина точок розриву співпадає з множиною за теоремою Лебега множина має лебегова міру нуль.

Теорему доведено.

Обмежена множина , межа якої має лебегова міру нуль називається вимірною за Жорданом, або жордановою, а інтеграл називається жордановою мірою множини (або її довжиною і назначається ).

Приклад 2.	Які з множин вимірні за Жорданом.
	; ; .
	- не вимірні - вимірна.

Теорема 2.	(Властивості жорданових множин)
	Нехай - жорданові множини. Тоді:
1)	- жорданова множина.
2)	- жорданову множина і якщо , то .
3)	- жорданову множина, і, якщо , то .

Доведення теореми. Вимірність за Жорданом очевидна. Нехай і містить множину : .

Якщо і .

Теорему доведено.

Теорема 3.	(Інтегрованість композиції функцій)
	Нехай , , , . .

Доведення теореми. міра Лебега точок розриву дорівнює нулю. Композиція неперервна в кожній точці неперервності міра Лебега точок розриву дорівнює нулю .

Приклад 3.	Якщо в умовах теореми 3 замінити умову на , то не обов’язково .
	; - функція Рімана функція Діріхле.