Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-02 Теор_я _нтеграла Р_мана

6

Глава 4

Інтеграл Рімана

2. Теорія інтеграла Рімана

Нехай - обмежена функція, - деяке розбиття сегмента, позначимо значення , , .

Верхньою та нижньою інтегральними сумами Дарбу, відповідними розбиттю для функції , називаються відповідно суми:

, , де , .

Розбиття сегмента називається продовженням розбиття цього ж сегмента, якщо ; розбиття є спільним для розбиттів і , якщо .

Лема 1.	(Властивості сум Дарбу на продовженні розбиття).
	Якщо - продовження розбиття , то
	і	(1)

Доведення. . Аналогічно для .

Лему доведено.

Лема 2.	(Зв’язок між верхньою та нижньою інтегральними сумами).
	Для будь-яких розбиттів , .	(2)

Доведення. Нехай - спільне розбиття, тоді:.

Лему доведено.

Числа , називаються відповідно верхнім та нижнім інтегралом Дарбу функції на сегменті .

(Вони існують і скінчені внаслідок обмеженості на ).

Лема 3.	(Зв’язок між верхнім та нижнім інтегралами Дарбу).
	Для будь-якої обмеженої функції виконується нерівність:
		(3)

Доведення. .

Лему доведено.

Функція називається інтегрованою за Дарбу на , якщо , а спільне значення цих інтегралів називається інтегралом Дарбу і позначається . Множину всіх інтегрованих за Дарбу функцій на позначимо через .

Теорема 1.	(Критерій інтегрованості функції).
	Для того, щоб обмежена функція була інтегрованою на , необхідно і достатньо, щоб
		(4)

Доведення. Необхідність. Нехай виберемо довільне , тоді ,: .

Достатність. : .

Теорему доведено.

Теорема 2.	(Еквівалентність інтегралів Рімана та Дарбу).
	, при цьому .

Доведення. Необхідність. Нехай . Нехай містить точок розбиття , покладемо , де - коливання функції на , а тепер розглянемо довільне розбиття , для якого , а далі позначимо нове розбиття .

Тепер оцінимо різницю: , крім того, оскільки інтервал містить рівно точок розбиття , а т.я. внаслідок довільності вибору : . Аналогічно . Але тоді при ліва та права частини мають границю , з чого слідує, що ту ж саму границю має і середина.

Необхідність доведена.

Достатність. , . Зафіксуємо знайдене розбиття . З властивостей супремуму : якщо додати усі доданки при , справа ми одержимо , а зліва , тобто для множини при фіксованому є мажорантою та точкою дотику, тому , аналогічно , далі одержимо: , що означає згідно критерію інтегрованості за Ріманом, що і .

Теорема доведена.

Приклад 1.	Обчислити , використовуючи інтегральні суми.
	Складемо інтегральну суму: , , , , ; легко переконатися, що .

Мірою сегмента (інтервалу , півінтервалів ) називають його довжину: .

Множина має лебегову (жорданову) міру нуль, якщо існує злічене покриття (скінчене покриття ) інтервалами, сумарна довжина яких не перевищує , тобто .

Властивості.	(Множин лебегової та жорданової міри нуль).
1.	Якщо має лебегову (жорданову) міру нуль, і , то і має лебегову (жорданову) міру нуль.
2.	Якщо і кожна множина має лебегову (жорданову) міру нуль, то множина також має лебегову (жорданову) міру нуль.
3.	Будь-яка множина жорданової міри нуль є множиною лебегової міри нуль.
4.	Будь-яка злічена (скінчена) множина точок має лебегову (жорданову) міру нуль.
5.	Існує більш ніж злічена (більш ніж скінчена) множина, що має лебегова (жорданову) міру нуль.

Доведення очевидне.

Теорема 3.	(Компакт лебегової міри нуль).
	Компакт лебегової міри нуль є множиною жорданової міри нуль.

Доведення. Оскільки компакт має лебегова міру нуль, то існує його злічене покриття інтервалами, сумарна довжина яких менше за , а тому з леми Гейне-Бореля існує скінчене підпокриття, а тому його сумарна довжина також менша за , що й означає, що він має жорданову міру нуль.

Теорема доведена.

Теорема 4.	(Про замкнену множину).
	Нехай - замкнена множина, тоді для будь-якої обмеженої функції і множина - замкнена.

Доведення. Покажемо, що доповнення цієї множини є відкритою множиною. Нагадаємо, що , а тому . Виберемо довільну точку . Для цього розглянемо два випадки.

1) - відкритій множині існує інтервал - внутрішня точка множини .

2) , а також , де : . Очевидно, що : і . Але тоді , що легко доводиться граничним переходом. Але тоді довільна точка цього околу міститься в множині , а тому кожна точка є внутрішньою, з чого й слідує, що , а тому - відкрита множина, що й треба було довести.

Таким чином множина - відкрита, а тому - замкнена.

Теорема доведена.

Теорема 5.	(Оцінка різниці інтегральних сум).
	Нехай - обмежена функція, для якої : . Тоді існує розбиття проміжку : .

Доведення. існує інтервал : . Якщо це не так, то , а тому існує послідовність інтервалів, що стягуються до , тоді граничний перехід показує, що , а це проти ричить умові. Оскільки компакт, то з нескінченного покриття інтервалами, можна виділити скінчене підпокриття .

Нехай таке покриття, що кожний сегмент цього покриття міститься в деякому з інтервалів . Тоді , а тому .

Теорема доведена.

Теорема 6.	(Лебега, критерій інтегрованості за Ріманом).
	Нехай - обмежена функція і - множина її точок розриву. .

Доведення. Необхідність. . Позначимо множину , тоді . Покажемо, що кожна множина має лебегову міру нуль. З теореми 4 про замкнену множину - замкнена, а тому й вона є компактом. З того, що - розбиття на сегменти :