Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-05 Теореми про середнє

6

Глава 4

Інтеграл Рімана

5. Теореми про середнє, інтеграл Рімана як функція меж інтегрування

Теорема 1.	(Перша теорема про середнє).
	Якщо і , то має місце рівність:
	,	(1)
	де

Доведення. За теоремою з попередньої теми: . Нехай , де . Якщо , то усе очевидно. Нехай тепер , тоді позначимо , для якої . Аналогічно доводиться для .

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(Для неперервної функції).
	Якщо в умовах теореми про середнє , то формула (1) набуває вигляду:
	,	(2)
	де .

Це очевидний наслідок теореми Коші про проміжні значення.

Наслідок 2.	(Оцінка інтегралу від неперервної функції).
	Якщо , то : .

Приклад 1.	Оцінити інтеграл: .
1)	.

2)

.

Нехай . Назвемо функцію , де , інтегралом як функцією верхньої межі (ІФВМ). Зрозуміло, що вона існує, бо .

Теорема 2.	(Неперервність ІФВМ).
	Якщо , то

Доведення. Оскільки , то вона обмежена, тому : . Тоді маємо: неперервна .

Теорема доведена.

Теорема 3.	(Похідна ІФВМ).
	Якщо , то диференційована в кожній точці , в якій неперервна і при цьому в цих точках .

Доведення. Нехай неперервна в точці : , з чого й слідує твердження теореми, що .

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(Похідна ІФВМ для неперервної функції)
	Якщо , то .

Наслідок 2.	(ІФВМ як первісна в широкому розумінні)
	Якщо і множина її точок розриву не більш як злічена, то є первісною в широкому розумінні функції на .

Доведення наслідку. і де неперервна , тобто - первісна в широкому розумінні.

Наслідок доведено.

Теорема 4.	(Основна формула інтегрального числення)
	Якщо і множина точок розриву не більш ніж злічена, - будь-яка первісна в широкому розумінні функції на , тоді виконується рівність (формула Ньютона-Лейбніца):
	.	(3)

Доведення. Нехай - довільна первісна (в широкому розумінні) функції на , тоді функція - ІФВМ є також первісною в широкому розумінні (за теоремою 3 та наслідку з неї), але тоді за зв’язком між первісними в широкому розумінні : .

Теорему доведено.

Теорема 5.	(друга теорема про середнє)
1)	Нехай - монотонна функція, . Тоді , для якого виконується рівність:
			(4)
2)	Якщо при цьому не зростає на і , то :
		(5)
3)	Якщо - не спадає на і , то :
		(6)

Доведення. Доведемо спочатку (5):

Якщо все очевидно, і формула справджується .

Нехай . Оскільки - монотонна, то для довільного розбиття маємо: .

Внаслідок обмеженості , а також нерівності . Де - коливання на проміжку , де .

З умови : .

Розглянемо : , . і , і якщо позначити , , , де , , .

Нехай , з умови монотонності , тобто , і , ми одержимо: . (Наприклад: ).

Але тоді в силу довільності ми маємо: , але так як , то : .

Аналогічно доводиться (6).

Нехай тепер - монотонна і, наприклад, зростає, тоді (або ), і задовольняють умовам 2) (або 3)), внаслідок чого :

.

. Аналогічно, якщо - спадає.

Теорему доведено.

Приклад 2.	Оцінити ,
	, ; ; .

Нехай , , , , і диференційована в кожній точці . Розглянемо функцію , де , тоді . Тоді, за правилом диференціювання складної функції, ми маємо: :

. (7)

Аналогічно, для , , , то для функції , де ,

. (8)

З чого остаточно ми маємо правило диференціювання складної функції меж інтегрування.

Теорема 6.	(Диференціювання складної функції меж інтегрування)
	Якщо , , , , , диференційовані , тоді має місце формула:
	.	(8)

Приклад 3.

Якщо послабити вимоги на неперервність і , і вимагати диференційованими їх на за виключенням не більш як зліченої множини точок, то і формула (8) справджується скрізь крім цієї зліченої множини точок.

Теорема 7.	(заміна змінної в інтегралі Рімана)
	Нехай : 1) , 2) , - диференційована на і , , , , тоді має місце рівність:
	,	(9)
	яка називається формулою заміни змінної в інтегралі Рімана.

Доведення. Нехай - первісна функції на , тоді - первісна функції на , оскільки

.

Теорема доведена.

Приклад 4.

.

Теорема 8.	(Інтегрування частинами)
	Нехай - диференційовані функції і , тоді і виконується рівність:
	,	(10)
	яку називають формулою інтегрування частинами.