Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 04 _нтеграл Р_мана / Пар 4-02 Теор_я _нтеграла Р_мана

. (5)

Нехай множина тих сегментів, що перетинаються з . Вони покривають і

. (6)

Нерівність (5) запишемо у вигляді:

, (7)

де - міра сегмента . З (6) та (7) одержимо:

має жорданову, а тому й лебегову міру нуль. З властивостей множин лебегової міри нуль множина також має лебегова міру нуль.

Достатність. Нехай має лебегову міру нуль. позначимо , тоді і . За теоремою 4 про замкнену множину - компакт він має жорданову міру нуль існує скінчений набір інтервалів , що покриває : та , де як і раніше - міра інтервалу .

Нехай довільне розбиття, в яке входять кінці інтервалів . З обмеженості слідує, що : , а тому й

.

Якщо - сегмент розбиття такий, що , то з теореми 5 про оцінку інтегральних сум існує його під розбиття на : а також .

Розглянемо розбиття , в яке входять кінці інтервалів та . Тоді .

З фіксованості маємо, що .

Теорема доведена.

Наслідок.	(класи інтегрованих за Ріманом функцій).
	Обмежена функція є інтегрованою за Ріманом, якщо:
1.	;
2.	- монотонна на .

Приклад 2.	Дослідити на інтегрованість за Ріманом на функції:
1.	;
2.	функція Рімана ;
3.	функція Діріхле .
Розв’язання.	1)	З того, що множина точок розриву співпадає з множиною , а тому має лебегова міру нуль (хоча має потужність континуум), звідси .
	2)	Множина точок розриву функції Рімана є усі раціональні точки, а тому , з того що на будь-якому проміжку функція приймає нульові значення, а тому існує нульова інтегральна сума Рімана, з чого очевидно, що ;
	3)	Множина точок розриву функції Діріхле це усі дійсні числа, тому вона має міру , .

Зауважимо, що довільна стала функція є первісною в широкому розумінні обох функцій – і функції Рімана, і функції Діріхле. Вона неперервна та її похідна співпадає з відповідною функцією скрізь, за виключенням зліченої множини точок. Тому існування первісної в широкому розумінні ще не гарантує інтегрованість за Ріманом, а інтегрованість за Ньютоном-Лейбніцем залежить від існування первісної (точної).