7_Zakon vsesvitniogo tiazhinnia 7

Розділ 7

ЗАКОН ВСЕСВІТНЬОГО ТЯЖІННЯ

7.1. Закони Кеплера та закон всесвітнього тяжіння

Закон всесвітнього тяжіння був уперше сформульований Ісаком Ньютоном у 1687 році в роботі

"Математичні принципи натуральної філософії". Сучасне формулювання цього закону звучить так:

Дві матеріальні точки притягують одна одну вздовж прямої, що їх з’єднує, з силою,

величина якої є прямо пропорційна добутку їх мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними,

частинками, G – так звана гравітаційна стала.

При формулюванні цього закону Ньютон спирався на сформульовані ним же три закони динаміки та на відомі на той час закони руху планет навколо Сонця, відкриті німецьким астрономом

і математиком Йоганесом Кеплером на підставі аналізу результатів спостережень за рухом планет отриманих

датським астрономом Тихо Браге. Видимий рух планет по небосхилу серед нерухомих одна відносно одної зірок є надзвичайно складним1. На Рис. 7.1 з

оригінальної роботи Кеплера показано траєкторію планети Марс протягом декількох періодів її руху

1.Усі планети рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце (Рис. 7.2).

1Цьому факту завдячує саме слово планета: про небесне світило, що безладно рухається по небосхилу греки говорили як про зірку, що блукає.

259

Таким чином, на підставі другого закону Ньютона і третього закону Кеплера можна зробити надзвичайно важливий висновок, що сила, яка прикладена до планети з боку Сонця, є обернено пропорційною квадрату відстані від планети до Сонця. Варто зазначити, що такого кількісного висновку не можна дійти на підставі якихось загальних міркувань: не досить самих законів Кеплера

необхідно використати і другий закон динаміки2. Припускаючи, що всі тіла мають масу, і

спираючись на третій закон Ньютона, можна припустити, що сила притягання між планетою і Сонцем є взаємною, і величина її пропорційна не лише масі планети, рух якої розглядається, а й масі

Сонця M C , яка буде однаковою при розгляді руху будь-якої планети навколо Сонця3. Тоді рівняння

(7.5) можна переписати у вигляді

який є векторною формою запису закону (7.1).

Цю формулу отримано для руху небесних тіл. Але з давніх давен відоме явище вільного падіння всіх без винятку тіл на поверхню Землі по нормалі до її поверхні. Ґалілей експериментально показав, що при усуненні опору повітря4 всі тіла незалежно від їх складу, форми та інших

властивостей падають по вертикалі з прискоренням g 9,81 м / c2 . З точки зору другого закону Ньютона це прискорення зумовлено силою притягання з боку Землі. Відповідно до третього закону Ньютона тіло з такою ж силою притягує Землю.

2До Ньютона висувалися гіпотези щодо зростання сили тяжіння між небесними тілами при зменшенні відстані між ними, зокрема Кеплер припускав, що ця сила обернено пропорційна просто відстані від планети до Сонця. Сам Ньютон відзначав, що до правильної залежності сили тяжіння від відстані деякі вчені прийшли раніше.

3Сталі Кеплера для систем супутників планет Марса, Юпітера, Сатурна відрізняються від сталої Кеплера для Сонця і

пропорційні масам відповідних планет.

4Ґалілей використовував трубку, з якої було викачане повітря: всередині такої трубки, розміщеної вертикально, різні тіла,

зокрема, важка свинцева кулька і легенька пір’їнка долали відстань від верхнього до нижнього кінця трубки за один і той же час надані самі собі біля верхнього кінця трубки вони надалі рухалися разом.

261

Якщо припустити, що сила, яка прикладена до яблука з боку Землі й спричинює прискорення його вільного падіння на Землю, має таку саму природу, що й сила, яка прикладена до Місяця з боку Землі й спричинює його рух по орбіті, то для яблука можна записати

яблуком і центром Землі.

З рівностей (7.10) та (7.11) випливає просте співвідношення між прискореннями яблука та Місяця

величиною прискорення вільного падіння, з яким падає яблуко aя g 9,81 м c 2 .

прискорень яблука та Місяця з великою точністю дорівнює квадрату оберненого відношення відстаней від центра Землі до яблука і до Місяця у повній відповідності до формули (7.12), що є вагомим аргументом на користь зробленого припущення про однакову природу сил тяжіння між небесними тілами і силою тяжіння поблизу поверхні Землі. Саме це дає підстави називати закон яжіння (7.1) всесвітнім або універсальним6, оскільки він справедливий для всіх без виключення тіл у Всесвіті.

6Термін універсальний походить від латинського universalis всеосяжний, загальний, який, у свою чергу, походить від латинського universum загальне, Всесвіт.

263

7.2. Рух частинки в полі центральної сили, обернено пропорційної квадрату відстані до силового центру

7.2.1 Рух частинки в полі центральної сили

Застосуємо закони збереження моменту імпульсу та енергії до розгляду руху частинки в полі центральної сили.

то момент імпульсу частинки в полі центральної сили, визначений відносно центра поля,

зберігається,

Оскільки центральна сила є консервативна сила, то повна механічна енергія частинки в полі центральної сили також зберігається:

системи координат повністю лежить в площині XOY . У координатному записі маємо такі вирази для величини моменту імпульсу та для повної механічної енергії частинки

L m(xy yx)

1 (7.15)

E m(x2 y 2 ) U (r)2

264

Оскільки силове поле центральне, тобто і сила і потенціальна енергія залежать лише від відстані до силового центру, зручно в площині траєкторії ввести полярну систему координат з початком у силовому центрі O.

Якщо полярну вісь полярної системи координат спрямувати вздовж осі OX декартової системи координат, то між x, y та r, існує зв’язок

x r cos

З виразу для моменту імпульсу (7.19а) випливає, що так звана секторіальна швидкість частинки,

Це твердження становить зміст так званого другого закону Кеплера, який встановив його з аналізу спостережень за рухом планети Марс по еліптичній орбіті навколо Сонця в центральному гравітаційному полі останнього, функція потенціальної енергії для якого, як було показано в Розділі 5

(див. формулу (5.36)) є U (r) r .

З виразу для моменту імпульсу також випливає, що знак кутової швидкості, з якою повертається радіус-вектор частинки, є сталим, оскільки

Таким чином, вираз для повної енергії частинки в центральному полі має такий самий вигляд як і для повної енергії частинки при одновимірному русі (див. формулу (5.56)), де потенціальну

енергію U (r) замінено на потенціальну енергію Uеф (r) . Отже рух частинки в радіальному

напрямку можна розглядати як одновимірний рух у полі з ефективною потенціальною енергією

Uеф (r) . Швидкість такого руху є

На відміну від випадку одновимірного руху розглянутого в Розділі 5 частинка при цьому не

зупиняється, оскільки завжди існує азимутальна складова швидкості r . Тому радіальний рух

частинки в центральному полі називають квазіодновимірним.

Рівняння траєкторії частинки в полярних координатах можна знайти з рівності (7.22),

підставимо в неї dt , знайдене з рівності (7.25),

266

і отримаємо зв’язок між диференціалами d та dr

залежить від конкретного виразу для потенціальної енергії U (r) .

Ясно, що при наявності залежності (r) можна, в принципі, знайти й обернену залежність

r r() .

Як і у випадку істинного одновимірного руху, квазіодновимірний рух можливий лише при таких r , при яких E U еф 0. При цьому він може бути як інфінітним, якщо область можливих значень r обмежена лише знизу, r rmin , або фінітним, якщо rmax r rmin . При цьому характер руху і розміри області, в якій він можливий, визначаються конкретним виглядом потенціальної енергії U (r) і повною механічною енергією частинки. Приклади руху частинки в полі з

потенціальною енергією U (r) при різних значеннях та n подано на Рис.7.5. r n

Необхідно відзначити, що навіть при фінітному русі, коли траєкторія частинки повністю лежить

в кільцевій області rmax r rmin , вона в загальному випадку не є замкненою. Умова замкненості

може бути отримана з таких міркувань. Одновимірний радіальний фінітний рух частинки є