Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

7_Zakon vsesvitniogo tiazhinnia 7

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
711.89 Кб
Скачать

267

Рис. 7.5. Рух частинки в центральному полі

періодичним. Цей період дорівнює проміжку часу, за який частинка, починаючи рухатись від

внутрішньої границі rmin області доступної для руху досягає зовнішньої границі rmax ,

а потім

повертається назад до внутрішньої границі rmin області доступної для руху.

268

За цей час радіус-вектор частинки повернеться на кут

 

rmax

 

 

L

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2mr 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

.

(7.31)

 

 

 

 

 

 

 

2

[E U еф

 

 

rmin

(r)]

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

Після n «ходінь» частинки від rmin до rmax і назад радіус-вектор частинки повернеться на кут

n .

Якщо n m2 , то після n «ходінь» частинки від rmin до rmax і назад та здійснення m

повних

обертів радіус-вектора частинки (тобто зміні азимутального кута

на 2 m ) частинка

прийде в ту саму точку простору і траєкторія замкнеться. Таким чином, траєкторія частинки буде

замкненою, якщо відношення 2 є раціональне число. Відомо два типи центральних полів, у яких

траєкторії фінітних рухів замкнені: поля, в яких потенціальна енергія частинки обернено пропорційна

віддалі від силового центра, U (r) ~ r 1 та поля, в яких потенціальна енергія частинки прямо

пропорційна квадрату віддалі від силового центра U (r) ~ r 2 . До першого типу належать гравітаційне поле точкової маси та електростатичне поле точкового заряду, а до другого поле квазіпружної сили.

7.2.2 Рух частинки під дією центральної сили, обернено пропорційної квадрату відстані до

силового центру

Дослідимо тепер рух частинки в полі з U (r) r , зокрема знайдемо явний вигляд можливих

траєкторій, спираючись на результат отриманий вище для довільного центрального поля, а саме на рівняння траєкторії частинки в полярних координатах (7.30) з ефективною потенціальною енергією

Uеф (r)

 

 

 

L2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.31)

r

 

2mr2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

записане у вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

.

(7.32)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

2mr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

269

Обчислимо інтеграл у правій частині (7.32):

L

2m

 

 

 

 

L

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

, dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r 2

2m

 

 

 

 

 

 

 

L2

 

 

 

 

 

2m E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

2mr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

dz

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

2

 

 

 

L

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E y

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

dz

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

L

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

arccos

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a2 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.33)

При обчисленні інтеграла (7.33) було зроблено заміни змінних

 

y

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.34а)

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

L

 

 

2m

,

(7.34б)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2m

 

 

 

 

2

 

 

L

 

а також позначено

 

a2 E

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

(7.34)

 

 

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, рівняння (7.32) можна подати у вигляді

 

arccos

z

 

,

 

 

 

 

 

 

(7.35)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

де позначено 0 , тобто перенесено початок відліку полярного кута.

Знайдемо косинус від обох частин рівності (7.35)

 

z

cos .

 

 

 

 

 

 

(7.36)

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Після підстановки виразів для

z , y

і a у рівняння (7.36) одержимо зв’язок між полярним

кутом та полярним радіусом r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 m

 

 

 

 

L 1

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

cos .

(7.37)

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

2m r

 

2

L

 

2L

 

 

270

Для приведення (7.37) до вигляду r r( ) виконаємо ряд перетворень

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2mE

 

2

m

2

 

m

 

 

m

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

1

1

2EL

 

cos

 

1 e cos ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L2

L4

L2

 

 

 

 

 

2m

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L2

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де введено позначення

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2EL2

 

e .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.39)

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточно маємо рівняння траєкторії в полярних координатах

 

 

 

r

 

 

 

 

p

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.40)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння (7.40) є відомим з аналітичної геометрії рівнянням конічних перерізів, яке зв’язує так званий фокальний радіус-вектор r з полярним кутом . Залежно від значень фокального параметра

p та ексцентриситету e це рівняння може визначати еліпс ( e 1), параболу ( e 1) або гіперболу

( e 1).

У випадку притягання частинки до силового центру ( 0 ) у рівнянні (7.40) необхідно брати знак «+»

r

p

,

(7.41)

1 e cos

а у випадку відштовхування частинки від силового центру ( 0 ) необхідно брати знак « »

r

p

 

1 e cos .

(7.42)

Аналіз різних випадків руху частинки відповідно до (7.41) і (7.42) подано на Рис. 7.6, у верхній

частині якого наведено графіки залежності ефективної потенціальної енергії Uеф від відстані до

силового центру r , а нижче при збереженні одного й того ж масштабу по осі абсцис зображено

траєкторії частинок при різних значеннях їх повної енергії E як для випадку притягання( 0 ), так

і для випадку відштовхування ( 0 ). Там же показано додаткові побудови і наведено параметри,

які використовуються для опису кривих другого порядку (асимптоти, півосі, директриси тощо).

271

Uеф

0 y

α<0

p

rmin 0

y

p

0

y

a

b p

rmax

0

y

0

E>0

α>0

α<0

Uеф min<E<0

r E= Uеф

α<0

b x

a

r+min

α<0

x

α<0

rmin

x

α<0

rmin= rmax

x

Рис. 7.6. Траєкторії частинки в полі U(r) αr

272

При E 0 завжди маємо інфінітний рух по гіперболічним траєкторіям, оскільки e 1. У

випадку притягання ( 0 ) рівняння (7.41) описує ліву вітку гіперболи. Полярний

кут при цьому

змінюється в межах 0 0 (від однієї асимптоти до іншої). Рух

частинки, що

проходить біля силового центру, викривляється і вона обходить силовий центр, наближаючись до

нього при 0

на мінімальну відстань r

 

p

. Права вітка гіперболи відповідає випадку

 

 

min

 

1 e

 

 

 

 

 

відштовхування

( 0 ), а отже описується

рівнянням (7.20 ), з якого видно, що при

0

мінімальна відстань є r

 

 

p

: траєкторія частинки при наближенні до силового центру

 

 

 

 

min

1

e

 

 

 

викривляється і вона не доходячи до силового центру повертає назад. У декартових координатах

обидві вітки гіперболи описуються рівнянням

x2

 

y2

1 . При цьому

e

1

a2

 

. Мінімальна

a2

b2

b2

 

 

 

 

 

 

 

відстань між вітками гіперболи є 2a . Асимптоти гіперболи проходять по діагоналям прямокутника зі

сторонами 2a і 2b .

При E 0 маємо інфінітний рух по параболічним траєкторіям, оскільки e 1. Оскільки цей випадок реалізується лише для сили притягання, то траєкторія має такий же вигляд як ліва вітка гіперболи,

розглянутої вище. Мінімальна відстань до силового центру при цьому rmin 2p . Рівняння параболи в

декартових координатах є y 2 2 px .

Фінітний рух можливий лише при E 0 , що, в свою чергу, можливо лише у випадку

притягання ( 0 ). Якщо Uеф min E 0 , то 0 e 1 і рух частинки відбувається по еліптичній

траєкторії, причому один із фокусів еліпса співпадає з центром поля (зауважимо, що у випадку притягання фокуси гіперболічних та параболічних траєкторій також співпадають з центром силового

поля). Мінімальна відстань до силового центру є

r

 

 

p

, а максимальна r

 

 

p

. Рівняння

 

 

 

 

 

min

1

e

 

 

max

1

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

еліпса в декартових координатах є

 

1,

а ексцентриситет e

1

a2

 

. Еліптична траєкторія

a2

b2

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

є повністю вписаною в прямокутник, утворений осями еліпса 2a і 2b . При зменшенні повної енергії частинки E і наближенні її до U еф min ексцентриситет зменшується і при E U еф min досягає

273

нульового значення. При цьому відношення довжин великої і малої півосей еліпса прямує до одиниці, а еліпс перетворюється на коло.

По замкненим еліптичним траєкторіям під дією гравітаційних сил притягання рухаються планети Сонячної системи, їх природні та штучні супутники, астероїди та періодичні комети, а також подвійні зірки, зірки навколо центру галактик тощо. По замкненим еліптичним траєкторіям рухаються заряджені частинки: наприклад в планетарній моделі атома розглядається рух електрона по замкненій еліптичній орбіті навколо позитивно зарядженого ядра.

По незамкненим гіперболічним траєкторіям рухаються, наприклад, неперіодичні комети які з великою швидкістю, і, відповідно енергією, входять в межі Сонячної системи і облетівши Сонце назавжди залишають її. По незамкненим гіперболічним траєкторіям рухаються також позитивно заряджені -частинки при бомбардуванні позитивно заряджених ядер атомів у класичному досліді Резерфорда..

Розглянемо практично важливий приклад руху тіла у гравітаційному полі Землі, якому надано

початкову швидкість 0 в горизонтальному напрямку відносно поверхні Землі7 (Рис. 7.7). Від

величини цієї початкової швидкості залежить повна механічна енергія тіла E , величина якої за інших однакових умов визначає вигляд траєкторії частинки. Якщо тіло відпустити з нульовою початковою швидкістю, то воно під діє сили тяжіння буде рухатись до центру силового поля (центру Землі) по прямій (не показана на рисунку). При цьому повна механічна енергія тіла мінімальна і дорівнює його потенціальній енергії в полі тяжіння Землі, оскільки кінетична енергія тіла в початковий момент дорівнює нулю.

При малих значеннях швидкості 0 тіло рухатиметься по еліптичній траєкторії до зустрічі з

поверхнею Землі. На Рис. 7.7 штриховою лінією показано можливу еліптичну траєкторію тіла, якби маса Землі була зосереджена в її центрі, з яким практично співпадає один з фокусів цієї траєкторії. На

7Ми ігноруємо наявність атмосфери і зумовлених нею дисипативних сил опору. Нам зручно і звично розглядати рух тіла в полі тяжіння Землі, хоча цей розгляд можна провести і для будь-якого небесного тіла позбавленого атмосфери, наприклад, для Місяця.

274

υ 0

υ0 < υ10

еліпс

 

υ0 = υ01

 

гіпербола

коло

 

υ0 > υ02

 

 

 

 

 

 

E > 0

 

 

 

υ0 = υ02

 

υ01 < υ0

< υ02

парабола

 

 

 

E < 0

еліпс

 

E = 0

 

 

Рис. 7.7. Траєкторії тіла в полі тяжіння Землі залежно від величини початкової горизонтальної швидкості 0 .

малих ділянках поблизу апогею8 еліптичну траєкторію можна апроксимувати параболою, що, власне,

й робиться при розв’язанні шкільних задач про рух тіл в однорідному полі сили тяжіння поблизу поверхні Землі.

При збільшенні початкової швидкості 0 буде зростати кінетична енергія тіла, і відповідно

повна механічна енергія E , та момент імпульсу L , що призведе до збільшення розмірів еліпса,

причому швидше буде зростати мала піввісь. Нарешті настане момент коли мала і велика осі еліпса стануть однаковими, тобто еліпс перетвориться на коло, а тіло на штучний супутник Землі.

Значення швидкості 0 , при якій це відбудеться, можна знайти з рівняння руху тіла

 

 

mM

 

 

 

 

 

 

З

 

r

 

 

 

G

 

 

 

 

 

mr

 

 

 

 

,

(7.43)

r 2

 

 

r

8Апогеєм називається найбільш віддалена від центра Землі точка орбіти. Найближча до центру Землі точка орбіти називається перигеєм.

275

де M З маса Землі. Початковою висотою тіла над поверхнею Землі порівняно з її радіусом RЗ

можна знехтувати. Тоді в знаменнику правої частини можна замінити r на RЗ . Оскільки орбіта

 

 

 

 

 

 

 

2

 

колова, то прискорення тіла має лише нормальну складову an

RЗ

n . Спроектувавши векторне

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рівняння руху тіла на внутрішню нормаль до траєкторії n отримаємо

 

m

2

G

mM

З

,

 

 

(7.44)

R

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

 

З

 

 

 

 

 

звідки дістанемо величину так званої першої космічної швидкості – мінімальної швидкості, при якій тіло стає штучним супутником Землі,

 

 

 

 

G

M З

.

 

 

 

 

 

(7.45)

 

 

 

01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RЗ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зокрема,

біля поверхні Землі при

G =6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2,

M

З

= 5,97·1024

кг,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

З

= 6,378 ·106

м для першої космічної швидкості маємо

01

=7,9 км/с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При подальшому збільшенні початкової швидкості 0 , коло знову переходить в еліпс, один з

фокусів якого залишається в центрі Землі, а інший віддаляється від нього по мірі збільшення

початкової швидкості 0 , а разом з нею і повної механічної енергії E , яка залишається від’ємною.

При наближенні E до нуля другий фокус еліпса прямує на нескінченність, і при E 0

«розкривається», в результаті чого траєкторія стає незамкненою, а саме параболою, яка при E 0

переходить в гіперболу.

Перехід від замкненої до незамкнених траєкторій відбувається при так званій другій космічній

швидкості 02 , при якій тіло, як іноді кажуть, назавжди залишить поле тяжіння Землі, а точніше

його відстань від центра Землі надалі буде лише зростати з часом. Величину швидкості 20 можна

знайти з умови E T U 0 , записаної у вигляді

m 2

G

mM

З

0 .

 

02

 

(7.46)

2

RЗ

 

 

 

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

276

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2G

M З

.

(7.47)

02

 

 

 

 

RЗ

 

 

 

 

 

 

Чисельне значення другої космічної швидкості для Землі

на рівні поверхні Землі є 02 =

11,2 км/с.

Ясна річ, що різні небесні тіла мають різні перші і другі космічні швидкості. З огляду на можливість старту космічного апарат з поверхні небесного тіла з метою його наступного повернення на Землю найбільший інтерес являють другі космічні швидкості або швидкості звільнення, наведені нижче в Таблиці.

Друга космічна швидкість (швидкість звільнення) на поверхні деяких небесних тіл

Небесне тіло

Маса

Друга космічна

Небесне тіло

Маса

Друга космічна

M З )

швидкість, км/с

M З )

швидкість, км/с

Меркурій

0,055

4,3

Сатурн

95,3

36,0

Венера

0,82

10,22

Уран

14,5

22,0

Земля

1

11,2

Нептун

17,5

24,0

Марс

0,108

5,0

Місяць

0,0123

2,4

Юпітер

318,3

61,0

Сонце

333000

617,7

Видно, що найпростішим є старт з поверхні Місяця, що й було неодноразово здійснено як безпілотними, так і пілотованими космічними апаратами. Мало шансів вирватися з обіймів Сатурна та Юпітера і абсолютно ніяких шансів повернутися з подорожі на Сонце (з цілого ряду причин).

7.3. Рух частинки по еліптичним траєкторіям

Розглянемо більш детально рух частинок по еліптичним траєкторіям (Рис. 7.8).

З аналітичної геометрії відомо,

що

зв’язок між параметрами

a

і

b

рівняння

еліпса

в

прямокутних декартових координатах

 

x2

 

y2

1 та параметрами

p

і

e

рівняння

еліпса

в

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

полярних координатах

r

 

 

p

дається формулами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e cos

 

 

 

 

 

 

 

p

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

, b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.48)

 

1 e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або оберненими до них

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]