7_Zakon vsesvitniogo tiazhinnia 7
.pdf267
Рис. 7.5. Рух частинки в центральному полі
періодичним. Цей період дорівнює проміжку часу, за який частинка, починаючи рухатись від
внутрішньої границі rmin області доступної для руху досягає зовнішньої границі rmax , |
а потім |
повертається назад до внутрішньої границі rmin області доступної для руху.
268
За цей час радіус-вектор частинки повернеться на кут
|
rmax |
|
|
L |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2mr 2 |
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
(7.31) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
[E U еф |
|
||||||||
|
rmin |
(r)] |
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
Після n «ходінь» частинки від rmin до rmax і назад радіус-вектор частинки повернеться на кут |
||||||||||
n . |
Якщо n m2 , то після n «ходінь» частинки від rmin до rmax і назад та здійснення m |
|||||||||
повних |
обертів радіус-вектора частинки (тобто зміні азимутального кута |
на 2 m ) частинка |
прийде в ту саму точку простору і траєкторія замкнеться. Таким чином, траєкторія частинки буде
замкненою, якщо відношення 2 є раціональне число. Відомо два типи центральних полів, у яких
траєкторії фінітних рухів замкнені: поля, в яких потенціальна енергія частинки обернено пропорційна
віддалі від силового центра, U (r) ~ r 1 та поля, в яких потенціальна енергія частинки прямо
пропорційна квадрату віддалі від силового центра U (r) ~ r 2 . До першого типу належать гравітаційне поле точкової маси та електростатичне поле точкового заряду, а до другого поле квазіпружної сили.
7.2.2 Рух частинки під дією центральної сили, обернено пропорційної квадрату відстані до
силового центру
Дослідимо тепер рух частинки в полі з U (r) r , зокрема знайдемо явний вигляд можливих
траєкторій, спираючись на результат отриманий вище для довільного центрального поля, а саме на рівняння траєкторії частинки в полярних координатах (7.30) з ефективною потенціальною енергією
Uеф (r) |
|
|
|
L2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.31) |
|
r |
|
2mr2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
записане у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
L |
dr |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
. |
(7.32) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2m E |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
2mr |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
269
Обчислимо інтеграл у правій частині (7.32):
L
2m
|
|
|
|
L |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
L |
|
|
||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
, dy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r 2 |
2m |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2m E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
2mr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
dz |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
2 |
|
|
|
L |
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
E y |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2m |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
dz |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
m2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
z2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
arccos |
z |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||
|
|
a2 z2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.33) |
При обчисленні інтеграла (7.33) було зроблено заміни змінних |
|
|||||||||||||||||
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.34а) |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
|
|
L |
|
|
2m |
, |
(7.34б) |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
2m |
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
L |
|
||||||||||
а також позначено |
|
|||||||||||||||||
a2 E |
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
(7.34) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отже, рівняння (7.32) можна подати у вигляді |
|
|||||||||||||||||
arccos |
z |
|
, |
|
|
|
|
|
|
(7.35) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
де позначено 0 , тобто перенесено початок відліку полярного кута.
Знайдемо косинус від обох частин рівності (7.35)
|
z |
cos . |
|
|
|
|
|
|
(7.36) |
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Після підстановки виразів для |
z , y |
і a у рівняння (7.36) одержимо зв’язок між полярним |
||||||||||||
кутом та полярним радіусом r |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 m |
|
|
|
|
L 1 |
|
|
2m |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
cos . |
(7.37) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||
|
|
2m r |
|
2 |
L |
|
2L |
|
|
270
Для приведення (7.37) до вигляду r r( ) виконаємо ряд перетворень
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2mE |
|
2 |
m |
2 |
|
m |
|
|
m |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2EL |
|
cos |
|
1 e cos , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L2 |
L4 |
L2 |
|
|
|
|
|
2m |
|
||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
p |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де введено позначення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.38) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
2EL2 |
|
e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.39) |
|||||||||
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Остаточно маємо рівняння траєкторії в полярних координатах |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
p |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.40) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 e cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівняння (7.40) є відомим з аналітичної геометрії рівнянням конічних перерізів, яке зв’язує так званий фокальний радіус-вектор r з полярним кутом . Залежно від значень фокального параметра
p та ексцентриситету e це рівняння може визначати еліпс ( e 1), параболу ( e 1) або гіперболу
( e 1).
У випадку притягання частинки до силового центру ( 0 ) у рівнянні (7.40) необхідно брати знак «+»
r |
p |
, |
(7.41) |
1 e cos |
а у випадку відштовхування частинки від силового центру ( 0 ) необхідно брати знак « »
r |
p |
|
1 e cos . |
(7.42) |
Аналіз різних випадків руху частинки відповідно до (7.41) і (7.42) подано на Рис. 7.6, у верхній
частині якого наведено графіки залежності ефективної потенціальної енергії Uеф від відстані до
силового центру r , а нижче при збереженні одного й того ж масштабу по осі абсцис зображено
траєкторії частинок при різних значеннях їх повної енергії E як для випадку притягання( 0 ), так
і для випадку відштовхування ( 0 ). Там же показано додаткові побудови і наведено параметри,
які використовуються для опису кривих другого порядку (асимптоти, півосі, директриси тощо).
271
Uеф
0 y
α<0
p
r–min 0
y
p
0
y
a
b p
rmax
0
y
0
E>0
α>0
α<0
Uеф min<E<0
r E= Uеф
α<0
b x
a
r+min
α<0
x
α<0
rmin
x
α<0
rmin= rmax
x
Рис. 7.6. Траєкторії частинки в полі U(r) αr
272
При E 0 завжди маємо інфінітний рух по гіперболічним траєкторіям, оскільки e 1. У
випадку притягання ( 0 ) рівняння (7.41) описує ліву вітку гіперболи. Полярний |
кут при цьому |
змінюється в межах 0 0 (від однієї асимптоти до іншої). Рух |
частинки, що |
проходить біля силового центру, викривляється і вона обходить силовий центр, наближаючись до
нього при 0 |
на мінімальну відстань r |
|
p |
. Права вітка гіперболи відповідає випадку |
|
|
|||||
|
min |
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
||
відштовхування |
( 0 ), а отже описується |
рівнянням (7.20 ), з якого видно, що при |
0 |
мінімальна відстань є r |
|
|
p |
: траєкторія частинки при наближенні до силового центру |
|
|
|||
|
|
|||
min |
1 |
e |
|
|
|
|
викривляється і вона не доходячи до силового центру повертає назад. У декартових координатах
обидві вітки гіперболи описуються рівнянням |
x2 |
|
y2 |
1 . При цьому |
e |
1 |
a2 |
|
. Мінімальна |
|
a2 |
b2 |
b2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
відстань між вітками гіперболи є 2a . Асимптоти гіперболи проходять по діагоналям прямокутника зі
сторонами 2a і 2b .
При E 0 маємо інфінітний рух по параболічним траєкторіям, оскільки e 1. Оскільки цей випадок реалізується лише для сили притягання, то траєкторія має такий же вигляд як ліва вітка гіперболи,
розглянутої вище. Мінімальна відстань до силового центру при цьому rmin 2p . Рівняння параболи в
декартових координатах є y 2 2 px .
Фінітний рух можливий лише при E 0 , що, в свою чергу, можливо лише у випадку
притягання ( 0 ). Якщо Uеф min E 0 , то 0 e 1 і рух частинки відбувається по еліптичній
траєкторії, причому один із фокусів еліпса співпадає з центром поля (зауважимо, що у випадку притягання фокуси гіперболічних та параболічних траєкторій також співпадають з центром силового
поля). Мінімальна відстань до силового центру є |
r |
|
|
p |
, а максимальна r |
|
|
p |
. Рівняння |
|||||||||
|
|
|
|
|
min |
1 |
e |
|
|
max |
1 |
e |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
еліпса в декартових координатах є |
|
1, |
а ексцентриситет e |
1 |
a2 |
|
. Еліптична траєкторія |
|||||||||||
a2 |
b2 |
b2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
є повністю вписаною в прямокутник, утворений осями еліпса 2a і 2b . При зменшенні повної енергії частинки E і наближенні її до U еф min ексцентриситет зменшується і при E U еф min досягає
273
нульового значення. При цьому відношення довжин великої і малої півосей еліпса прямує до одиниці, а еліпс перетворюється на коло.
По замкненим еліптичним траєкторіям під дією гравітаційних сил притягання рухаються планети Сонячної системи, їх природні та штучні супутники, астероїди та періодичні комети, а також подвійні зірки, зірки навколо центру галактик тощо. По замкненим еліптичним траєкторіям рухаються заряджені частинки: наприклад в планетарній моделі атома розглядається рух електрона по замкненій еліптичній орбіті навколо позитивно зарядженого ядра.
По незамкненим гіперболічним траєкторіям рухаються, наприклад, неперіодичні комети які з великою швидкістю, і, відповідно енергією, входять в межі Сонячної системи і облетівши Сонце назавжди залишають її. По незамкненим гіперболічним траєкторіям рухаються також позитивно заряджені -частинки при бомбардуванні позитивно заряджених ядер атомів у класичному досліді Резерфорда..
Розглянемо практично важливий приклад руху тіла у гравітаційному полі Землі, якому надано
початкову швидкість 0 в горизонтальному напрямку відносно поверхні Землі7 (Рис. 7.7). Від
величини цієї початкової швидкості залежить повна механічна енергія тіла E , величина якої за інших однакових умов визначає вигляд траєкторії частинки. Якщо тіло відпустити з нульовою початковою швидкістю, то воно під діє сили тяжіння буде рухатись до центру силового поля (центру Землі) по прямій (не показана на рисунку). При цьому повна механічна енергія тіла мінімальна і дорівнює його потенціальній енергії в полі тяжіння Землі, оскільки кінетична енергія тіла в початковий момент дорівнює нулю.
При малих значеннях швидкості 0 тіло рухатиметься по еліптичній траєкторії до зустрічі з
поверхнею Землі. На Рис. 7.7 штриховою лінією показано можливу еліптичну траєкторію тіла, якби маса Землі була зосереджена в її центрі, з яким практично співпадає один з фокусів цієї траєкторії. На
7Ми ігноруємо наявність атмосфери і зумовлених нею дисипативних сил опору. Нам зручно і звично розглядати рух тіла в полі тяжіння Землі, хоча цей розгляд можна провести і для будь-якого небесного тіла позбавленого атмосфери, наприклад, для Місяця.
274
υ 0
υ0 < υ10
еліпс
|
υ0 = υ01 |
|
гіпербола |
коло |
|
υ0 > υ02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E > 0 |
|
|
|
υ0 = υ02 |
|
υ01 < υ0 |
< υ02 |
парабола |
|
|
|
|
E < 0 |
еліпс |
|
E = 0 |
|
|
Рис. 7.7. Траєкторії тіла в полі тяжіння Землі залежно від величини початкової горизонтальної швидкості 0 .
малих ділянках поблизу апогею8 еліптичну траєкторію можна апроксимувати параболою, що, власне,
й робиться при розв’язанні шкільних задач про рух тіл в однорідному полі сили тяжіння поблизу поверхні Землі.
При збільшенні початкової швидкості 0 буде зростати кінетична енергія тіла, і відповідно
повна механічна енергія E , та момент імпульсу L , що призведе до збільшення розмірів еліпса,
причому швидше буде зростати мала піввісь. Нарешті настане момент коли мала і велика осі еліпса стануть однаковими, тобто еліпс перетвориться на коло, а тіло на штучний супутник Землі.
Значення швидкості 0 , при якій це відбудеться, можна знайти з рівняння руху тіла
|
|
mM |
|
|
|
|
|
|
З |
|
r |
|
|
||
|
G |
|
|
|
|
|
|
mr |
|
|
|
|
, |
(7.43) |
|
r 2 |
|
|
r |
8Апогеєм називається найбільш віддалена від центра Землі точка орбіти. Найближча до центру Землі точка орбіти називається перигеєм.
275
де M З маса Землі. Початковою висотою тіла над поверхнею Землі порівняно з її радіусом RЗ
можна знехтувати. Тоді в знаменнику правої частини можна замінити r на RЗ . Оскільки орбіта
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
колова, то прискорення тіла має лише нормальну складову an |
RЗ |
n . Спроектувавши векторне |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рівняння руху тіла на внутрішню нормаль до траєкторії n отримаємо |
|
|||||||
m |
2 |
G |
mM |
З |
, |
|
|
(7.44) |
R |
R2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
З |
|
З |
|
|
|
|
|
звідки дістанемо величину так званої першої космічної швидкості – мінімальної швидкості, при якій тіло стає штучним супутником Землі,
|
|
|
|
G |
M З |
. |
|
|
|
|
|
(7.45) |
|
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
RЗ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Зокрема, |
біля поверхні Землі при |
G =6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2, |
M |
З |
= 5,97·1024 |
кг, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
З |
= 6,378 ·106 |
м для першої космічної швидкості маємо |
01 |
=7,9 км/с. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При подальшому збільшенні початкової швидкості 0 , коло знову переходить в еліпс, один з
фокусів якого залишається в центрі Землі, а інший віддаляється від нього по мірі збільшення
початкової швидкості 0 , а разом з нею і повної механічної енергії E , яка залишається від’ємною.
При наближенні E до нуля другий фокус еліпса прямує на нескінченність, і при E 0
«розкривається», в результаті чого траєкторія стає незамкненою, а саме параболою, яка при E 0
переходить в гіперболу.
Перехід від замкненої до незамкнених траєкторій відбувається при так званій другій космічній
швидкості 02 , при якій тіло, як іноді кажуть, назавжди залишить поле тяжіння Землі, а точніше
його відстань від центра Землі надалі буде лише зростати з часом. Величину швидкості 20 можна
знайти з умови E T U 0 , записаної у вигляді
m 2 |
G |
mM |
З |
0 . |
|
02 |
|
(7.46) |
|||
2 |
RЗ |
|
|||
|
|
|
|
Отже,
|
|
|
|
|
|
|
276 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2G |
M З |
. |
(7.47) |
||
02 |
|
||||||
|
|
|
RЗ |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Чисельне значення другої космічної швидкості для Землі |
на рівні поверхні Землі є 02 = |
11,2 км/с.
Ясна річ, що різні небесні тіла мають різні перші і другі космічні швидкості. З огляду на можливість старту космічного апарат з поверхні небесного тіла з метою його наступного повернення на Землю найбільший інтерес являють другі космічні швидкості або швидкості звільнення, наведені нижче в Таблиці.
Друга космічна швидкість (швидкість звільнення) на поверхні деяких небесних тіл
Небесне тіло |
Маса |
Друга космічна |
Небесне тіло |
Маса |
Друга космічна |
(в M З ) |
швидкість, км/с |
(в M З ) |
швидкість, км/с |
||
Меркурій |
0,055 |
4,3 |
Сатурн |
95,3 |
36,0 |
Венера |
0,82 |
10,22 |
Уран |
14,5 |
22,0 |
Земля |
1 |
11,2 |
Нептун |
17,5 |
24,0 |
Марс |
0,108 |
5,0 |
Місяць |
0,0123 |
2,4 |
Юпітер |
318,3 |
61,0 |
Сонце |
333000 |
617,7 |
Видно, що найпростішим є старт з поверхні Місяця, що й було неодноразово здійснено як безпілотними, так і пілотованими космічними апаратами. Мало шансів вирватися з обіймів Сатурна та Юпітера і абсолютно ніяких шансів повернутися з подорожі на Сонце (з цілого ряду причин).
7.3. Рух частинки по еліптичним траєкторіям
Розглянемо більш детально рух частинок по еліптичним траєкторіям (Рис. 7.8).
З аналітичної геометрії відомо, |
що |
зв’язок між параметрами |
a |
і |
b |
рівняння |
еліпса |
в |
|||||||||||
прямокутних декартових координатах |
|
x2 |
|
y2 |
1 та параметрами |
p |
і |
e |
рівняння |
еліпса |
в |
||||||||
|
a2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
||
полярних координатах |
r |
|
|
p |
дається формулами |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 e cos |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
|
, b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.48) |
|
|||
1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або оберненими до них