ovta-posibnyk

формулою для знаходження конкретної компоненти векторного добутку:

[a b]i a jb k ak bj , де i, j, k складають циклічний порядок, наприклад, [a b]x ayb z azby .

та її доведення.

Оскільки мішаний добуток векторів записується визначником матриці, компонентами якої є відповідні координати векторів (див.

2.4. Циклічний базис

Циклічний базис є зручним для опису векторів, що обертаються, зокрема при розгляді руху заряджених частинок у магнітному полі, світла циркулярної поляризації тощо. Вираз для розкладання

няння для циклічних компонент вектора швидкості v . Вектор v

Розглянемо векторну монохроматичну плоску хвилю. Її поле

E(r ,t) Aeikr i t к.с.

є дійсним (тут k і – дійсні величини, к.с. – комплексноспряжений до першого доданка вираз), але вектор амплітуди A є

комплексним, оскільки A несе інформацію не лише про амплітуди, а й про відносні фази всіх компонент поля. Нехай хвиля є поперечною, наприклад, світлова хвиля у вакуумі або в ізотропному

прозорому середовищі. Тоді A має лише перпендикулярні до хви-

льового вектора k складові. Направимо вісь Oz паралельно k . Відмінність ситуації від руху в магнітному полі полягає в тому, що

відповідні циклічні компоненти комплексної амплітуди A тепер незалежні. Вектори поляризації, що відповідають циркулярно по-

Тут для простоти А вважаємо дійсним. Таким чином, у фіксованій точці простору вектор E обертається у площині, перпендикулярній до вектора k , причому обертається в напрямку проти

руху годинникової стрілки, якщо дивитися із кінця вектора k . За означенням така хвиля відповідає правій круговій поляризації світла (або додатній спіральності фотона). Отже, вектор ek ,

відповідає лівій круговій поляризації.

22

Довільний комплексний вектор може бути поданий як лінійна комбінація дійсних векторів із комплексними коефіцієнтами (див., наприклад, (1.21)). Тобто комплексні вектори утворюють лінійний простір над полем комплексних чисел, але базис у цьому просторі може вибиратися дійсним. Комплексні вектори не мають напрямку і довжини у звичайному розумінні, як дійсні вектори. Тому поняття скалярного добутку і модуля вектора необхідно узагальнити, але так, щоб ключова ідея ортогональності працювала, а для дійсних векторів нові означення переходили у попередні.

Збережемо за позначенням a b зміст, визначений зв'язком

цього виразу із компонентами векторів у ПДСК: a b b a a1b1 a2b2 a3b3 .

ває несиметричність скалярного добутку для комплексних векторів (b, a) (a,b)* та інші властивості скалярного добутку. Квадрат

модуля (він же квадрат норми) комплексного вектора означимо через скалярний добуток

a 0 тільки, якщо a 0 . Такі означення забезпечують виконання всіх аксіом, яким мають задовольняти норма і скалярний добуток у нормованому векторному лінійному просторі зі скалярним добутком.

Поняття ортогональності в загальному випадку також визначається через скалярний добуток, а саме, ортогональними є вектори, скалярний добуток яких дорівнює нулю. Таким чином,

Скалярні добутки векторів циклічного базису мають вигляд

(e ,e ) e e 0, (e ,e ) e e 0, (e0 ,e ) 0, (e ,e ) (e ,e ) e e 1 . Отже, циклічний базис (1.21) є ор-

тонормованим. Пропонуємо читачеві самостійно виразити цик-

2.5. Зауваження щодо філософії координатного методу

Із тензорами, особливо вищих порядків, доводиться працювати майже виключно у координатному підході, оскільки правила обчислень у ньому є універсальними.

У координатному підході ми працюємо не з об'єктом як таким (вектором, тензором), а з набором його компонент. У різних системах компоненти одного й того самого об'єкта різні. Тобто сам об'єкт – інваріантний, а форма його представлення – ні. У

цьому полягає певний недолік координатного методу: потрібна інформація про об'єкт ускладнюється неістотною інформацією про окремий вибір координатної системи. Тому задача теорії полягає у тому, щоб навчитися відокремлювати те суттєве, що стосується самих досліджуваних тензорних величин, і відкидати те, що привнесено тим чи іншим вибором системи координат.

рати іншу систему координат (рис. 1.10), то й компоненти будуть

24

перпендикулярно до площини векторів a , b ; e2 – у площині векторів a , b . Тоді a 0,0, a , b 0,bsin ,b cos . Пере-

множивши a та b у компонентах, зокрема, одержимо відомі результати: a b ab cos , b a b asin e1 .

Приклад – рух зарядженої частинки в непаралельних однорідних електричному та магнітному полях, a B , b E .

Контрольні запитання

1.Означення вектора та основні операції над векторами в безкоординатному підході.

2.Координати вектора в декартовій системі координат.

3.Розкладання вектора на поздовжню та поперечну складові відносно заданого напрямку.

4.Операції над векторами у координатному підході.

5.Геометричний зміст скалярного, векторного та мішаного добутків векторів.

6.Правило розкриттяподвійного векторного добутку векторів.

7.Правила запису індексних виразів. Вільні та німі індекси.

Задачі

1.1. Знайти проекції [a b]y , [d f ]z на осі декартової системи координат.

1.2. Обчислити добуткиортівпрямокутної системикоординат:

а) (ex ey ) (ez ey ); б) ((ez ex ) ex ) ((ey ez ) ey ).

У задачах 1.3–1.9 довести векторні тотожності:

1.3.(a b) (c d ) = a d b d .

1.4.(a b) (c d) = b(a,c,d ) a(b,c, d ) = c(a,b,d ) d(a,b,c).

1.5.(a b) (a c) = a(a,b,c).a c b c

26

1.6.(a b, b c, c a) = (a,b,c)2 .

1.7.a (b (c d )) = (a,c, d )b (a b )(c d ).

d c d

1.8.(a,b,c)(d ,e, f ) = e c e .

b f c fa d ba e ba f

= (a,c) , = (a,b) . Знайти кут між площинами (ab) і (bc) .

1.11.Знайти кут між радіус-векторами r та r , напрямки яких відповідно задано сферичними кутами ( , ) та ( , ) .

1.12.Вивести теорему косинусів сферичної тригонометрії

cos = cos cos sin sin cos A,

де = (b,c) , = (a,c) , = (a,b) ; a , b і c – одиничні ве-

ктори зі спільним початком; A = ((a,b ),(a,c)) – двогранний

кут при векторі a .

1.13. Вивести теорему синусів сферичної тригонометрії

C = ((c, a),(c,b )) – двогранні кути при векторах a , b і c , відповідно.

1.14.Задано одиничні вектори a , b , c зі спільним початком

ікути між ними: = (b,c) , = (c, a) , = (a,b) . Знайти кут між вектором c і площиною (ab) .

27

1.20.Вираз | r r | розвинути в ряд Тейлора за r / r із точністю до (r / r) 2 , якщо r r .

1.21.Вираз 1/ | r r | розвинути в ряд Тейлора за r / r із то-

чністю до (r / r) 2 , якщо r r .

1.22.Записати рівняння площини, що проходить через точку із радіус-вектором r1 перпендикулярно до заданого вектора n .

1.23.Записати рівняння площини, що проходить через дві точки

зрадіус-векторами r1 та r2 паралельно до заданоговектора a .

1.24.Записати рівняння площини, що проходить через точку

зрадіус-вектором r1 паралельно до заданих векторів a та b .

1.25.Записати рівняння площини, що проходить через задані точки з радіус-векторами r1 , r2 і r3 , що не належать одній прямій.

28

1.26. Записати рівняння площини, яка перпендикулярна одиничному вектору n і проходить на відстані d від початку координат.

1.27.Записати рівняння площини, що проходить через задану точку r1 паралельно заданій площині r n = .

1.28.Записати рівняння прямої, що проходить через точку з радіус-вектором r1 паралельно до заданого вектора a .

1.29.Знайти довжину перпендикуляра, опущеного із початку координат на пряму (r r1) a = 0 .

1.30.Знайти найкоротшу відстань між двома непаралельними

= A тапрямими, заданими рівняннями r b = B , якщоr a

a A = 0 , b B = 0 , a b 0 . Знайти умову перетину цих прямих.

Установити геометричний зміст розв'язку.

1.34.Розв'язати системи рівнянь відносно невідомих х, у та z:

а) xa yb zc = d ; б) x(b c) y(c a) z(a b) = d.

1.35.Використовуючи векторні тотожності, розв'язати відно-

сно невідомого вектора x систему рівнянь:

x a ,x b ,

x c .

29

Розділ 2 Тензори. Закон перетворення

компонент тензора при заміні базису

§ 1. Матриця переходу та її властивості. Закон перетворення компонент вектора при заміні ортонормованого базису

Перш ніж наводити закон перетворення компонент, необхідно означити клас перетворень базису. Розглядатимемо перетворення, які ортонормований базис переводять в ортонормований, зберігаючи при цьому довжини векторів і кути між ними. Більш загальні перетворення розглядатимуться в розд. 7. Вважатимемо також, що при відповідному перетворенні декартової системи координат початок відліку (точка O) не зміщується. Зазначимо, що в більшості геометричних та фізичних застосувань положення точки O або зовсім не має значення (наприклад, у випадку однорідного електричного поля), або навпаки, природним чином фіксоване. Так, у неоднорідному полі це та точка, у нескінченно малому околі якої досліджуєтьсяфізична картина.

1.1. Матриця переходу

одного базису можна розкладати за векторами іншого базису. Будемо позначати через ij ( i, j 1,2,3 ) коефіцієнти перед ej при

розкладаннівекторів ei за вектораминештрихованого базису:

30