3.6. Построение логарифмических частотных характеристик последовательного
соединения звеньев
Чтобы понять порядок построения ЛЧХ последовательного соединения звеньев, рассмотрим два примера.
Пример 3.1.
.
Это
передаточная функция последовательного
соединения безынерционного усилительного
звена W1(p)=10,
двух интегрирующих звеньев W2(p)=
,
апериодического звена W3(p)=
и форсирующего звена с передаточной
функцией
W4(p)=2p+1.
Аналитическое выражение для ЛАЧХ этого соединения
L()
= 20lg10 - 40lg
- 20lg
+
20lg
.
Следует
учесть, что строятся асимптотические
ЛАЧХ. Построим их на рис. 3.15 и графически
просуммируем. При построении учтем
сопрягающие частоты сопр1=1/2=0,5
с-1,
сопр2=1/0,4=0,25
с-1
и то, что ЛАЧХ двух интегрирующих звеньев
(W2(p)=
)
есть прямая с наклоном -40
дБ/дек,
пересекающая ось нуля децибел (ось
частот) при =1
с-1.
Результатом суммирования окажется
ломаная линия, показанная на рис. 3.15.
Низкочастотная асимптота пройдет с наклоном -40 дБ/дек до сопрягающей частоты сопр1=0,5 с-1 так, что ее продолжение будет зафиксировано в точке (=1 с-1, L1()=20lg10=20 дБ). На первой сопрягающей частоте наклон асимптоты изменится на +20 дБ по сравнению с наклоном предыдущей асимптоты и составит -20 дБ. На второй сопрягающей частоте сопр2=0,25 с-1 наклон асимптоты изменится на -20 дБ/дек по сравнению с наклоном предыдущей асимптоты и составит -40 дБ/дек.
Рис. 3.15
Рассмотренное в примере 3.1 обоснование построения асимптотических ЛАЧХ последовательного соединения типовых динамических звеньев можно свести к следующим этапам:
1) По передаточной функции соединения звеньев находят 20lgK дБ и сопрягающие частоты сопрi=1/Тi.
2) Проводят низкочастотную асимптоту:
а) горизонтально, если отсутствуют интегрирующие и идеальные дифференцирующие звенья (ордината этой горизонтали равна 20lgK дБ);
б) с наклоном -20 дБ/дек через точку с координатами (=1 с-1, L(1)=20lgK дБ), если имеется интегрирующих звеньев;
в) с наклоном +20 дБ/дек через точку с координатами (=1 с-1, L(1)=20lgK дБ), если имеется идеальных дифференцирующих звеньев.
3) На каждой сопрягающей частоте наклон асимптоты изменяется по отношению к наклону предыдущей асимптоты на:
-20 дБ/дек - для апериодического звена,
-40 дБ/дек - для колебательного звена,
+20
дБ/дек - для
форсирующего звена первого порядка
W(p)=
,
+40
дБ/дек - для
форсирующего звена второго порядка
Wi(p) =
.
4) При необходимости производится уточнение асимптотической ЛАЧХ, что существенно при наличии колебательных звеньев с относительными коэффициентами <0,5.
ЛФЧХ последовательного соединения строится на основании алгебраического суммирования ЛФЧХ звеньев, входящих в это соединение. В этом случае упростить построение не удается.
При использовании ЭВМ производится точное построение ЛАЧХ и ЛФЧХ. При этом необходимо задаться начальным и конечным значениями частоты и шагом ее изменения, при котором обеспечивается необходимое число расчетных точек в пределах каждой декады.
В заключение отметим, что частотные характеристики позволяют судить о влиянии на динамические свойства систем тех или иных звеньев и осуществлять анализ и синтез систем автоматического управления. Поэтому ЛАЧХ и ЛФЧХ необходимо строить на одном графике.