4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста

В некоторых учебниках и учебных пособиях этот критерий именуется критерием Найквиста - Михайлова. Это объясняется тем, что этот критерий был предложен американским ученым Х. Найквистом для анализа устойчивости усилителей с обратной связью. Позднее А.В. Михайлов доказал возможность его применения для анализа устойчивости линейных САУ.

Основная особенность и практическая ценность этого критерия заключается в том, что анализ устойчивости замкнутой системы выполняется по частотным характеристикам разомкнутого контура регулирования.

Рассматриваются три случая анализа устойчивости: 1) система в разомкнутом состоянии устойчива; 2) система в разомкнутом состоянии неустойчива; 3) система в разомкнутом состоянии нейтрально устойчива (нулевые корни в характеристическом уравнении разомкнутой системы, что возможно при наличии в контуре регулирования интегрирующих звеньев).

Рассмотрим анализ устойчивости замкнутой системы для случая, когда эта система устойчива в разомкнутом состоянии. Для этого случая дадим физическое объяснение и доказательство. Поэтому уместно поставить вопрос: почему система, устойчивая в разомкнутом состоянии, может оказаться неустойчивой в замкнутом состоянии?

Целесообразно проанализировать преобразование в контуре регулирования отдельных составляющих сигнала на выходе (рис. 4.2)

Рис.4.2

Допустим, на частоте _ argW_p(j_)=-180. Следовательно, на этой частоте отрицательная обратная связь превращается в положительную.

При этом возможны три варианта:

1) Модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы на частоте _ W_p(j_)<1, что ведет к затуханию колебаний сигнала на этой частоте в замкнутом контуре, а это свидетельствует об устойчивости такой системы.

2) W_p(j_)=1, что свидетельствует о возникновении незатухающих колебаний с частотой _, т.е. замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости (частота незатухающих колебаний _).

3) W_p(j_)>1, что ведет к увеличению амплитуды колебаний на частоте _ и, следовательно, такая система неустойчива.

Отобразим три возможных варианта поведения замкнутой системы на плоскости АФХ разомкнутой системы (см. рис. 4.3).

Рис. 4.3. Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой системы для трех вариантов преобразования гармоники X_св(j) на частоте _

Рассмотренная выше физическая трактовка динамических свойств замкнутой системы и рис. 4.3 позволяют сделать заключение о том, что

если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (1, j0).

Разомкнутая система неустойчива.

В этом случае наглядная физическая трактовка условий устойчивости практически невозможна. Поэтому целесообразно воспользоваться принципом аргумента для вспомогательной функции

 (p) = 1 + W_p(p) = 1 + = = , (4.17)

где D_p(p) и D_з(p) - характеристические многочлены соответственно замкнутой и разомкнутой систем. При p=j

(j) =

и  arg (j) =  arg D_з(j) -  arg D_p(j). (4.18)

0   +   0   +    0   + 

Если разомкнутая система неустойчива и характеристическое уравнение D_p(p)=0 имеет m корней с положительной действительной частью, то условие устойчивости системы в замкнутом состоянии запишется на основании (4.15) и (4.18) в следующем виде:

 arg (j) = n/2 - (n - 2m)/2 = 2 m /2. (4.19)

0   + 

Это значит, что в этом случае условием устойчивости замкнутой системы является охват годографом вектора (j) начала координат своей комплексной плоскости m /2 раз в положительном направлении при изменении  от 0 до +  . Однако использовать такую методику анализа устойчивости неудобно. Если же на основании (4.17) учесть, что

 (p) = 1 + W_p(p) или W_p(p) =  (p)- 1. (4.20)

Это означает, что  (p) и W_p(p) отличаются только постоянным смещением на единицу, т.е. началу координат на плоскости  (p) соответствует на плоскости W_p(p) точка с координатами (-1, j0).

Вместо подсчета числа охватов АФХ разомкнутой системы точки с координатами (-1, j0) целесообразно подсчитать разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных переходов (снизу вверх) отрезка (-1-) дей­ствительной оси АФХ разомкнутой системы (в частотном диапазоне от 0 до + ). Для устойчивости системы в замкнутом состоянии эта разность должна быть равна m/2, где m - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью.

Примечание. Если АФХ разомкнутой системы начинается (при =0) на отрезке (-1-) действительной оси, то учитывается 1/2 перехода с соответствующим знаком.

Если разомкнутая система нейтрально устойчива, т.е. в состав W_p(p) входят интегрирующие звенья, то для анализа устойчивости замкнутой системы АФХ разомкнутой системы должна быть дополнена окружностью бесконечно большого радиуса, проходящей в отрицательном направлении число квадрантов, соответствующих числу интегрирующих звеньев.

Пример 4.2. Передаточная функция разомкнутой системы

W_p(p) = .

Выполнить анализ устойчивости замкнутой системы с помощью критерия Найквиста для двух случаев: T₁<<T₂ и T₁>>T₂.

Характеристическое уравнение разомкнутой системы

p²(T₂ p + 1) = 0

имеет корни p_1,2 = 0 и p₃ = - 1/T₂, т.е. эта система нейтрально устойчива и m=0.

АФХ разомкнутой системы показаны на рис. 4.4.

При T₁<<T₂ АФХ разомкнутой системы пересекает один раз отрезок (‑1‑) вещественной оси в отрицательном направлении, т.е. условие устойчивости замкнутой системы не выполняется.

При T₁>>T₂ разность между числом положительных и отрицательных переходов АФХ разомкнутой системы отрезка вещественной оси (-1 -) равна 1-1=0 и m=0, т.е. условие устойчивости замкнутой системы выполнено.

Рис. 4.4. АФХ разомкнутой системы, рассматриваемой в примере 4.2. штрихпунктирной линией обозначена основная часть АФХ W_p(j) для случая T₁>>T₂