Операции над предикатами

Поскольку предикаты являются высказываниями (переменными), то к ним применимы все операции алгебры высказываний и при этом будут получаться новые предикаты. Например,

Отрицанием n – местного предиката | P (x₁,…, x_n), определённого на М называется новый предикат, определенный на том же множестве М, который истинен тогда и только тогда, когда Р ложен.

Обозначается: (P(x₁,…, x_n)) или P(x₁,…, x_n).

Аналогично определяется конъюнкция и дизъюнкция

Теорема 3

а) Отрицание предиката Р тождественно истинно тогда и только тогда, когда предикат Р тождественно ложен.

б) Конъюнкция двух предикатов тождественно истинна тогда и только тогда, когда тождественно истинны оба предиката.

в) Дизъюнкция двух предикатов тождественно ложна тогда и только тогда, когда тождественно ложны оба предиката.

В логике предикатов имеются ещё две новые операции: операции квантификации.

1. Квантор общности.

Определение 5

Пусть А(х) одноместный предикат, определённый на М. Высказывание: “для всех х А(х) истинно” и обозначается через (х)А(х) и считается полученным из предиката А(х) операцией связыванияквантором общности.

(х)А(х) истинно тогда и только тогда, когда предикат А(х) истинен для всех элементов поля М, т. е. А(х) тождественно истинный предикат. В противном случае оно ложно.

(х)А(х) читается “для всех х А(х).”

Пример: пусть М – множество действительных чисел, х = х, то

(х)(х = х) есть истинное высказывание. Р₁(х): x > 2, то (х)(x > 2) – ложное высказывание.

Р₂(х): “x – есть простое число”. (х) Р₂(х) - ложное высказывание, т. к. получили что любое действительное число есть простое.

Если М = {a₁, …, a_n} – конечное множество, то (х) Р(х) эквивалентно высказыванию:P(a₁) P(a₂) …P(a_n), т. е. в этом случае квантор общности является обобщением операции конъюнкции.

Для многоместных предикатов P (x₁,…, x_n) операция определяется также, но приP (x₁,a₁,…,a_n), т. е. при фиксированных х₂, х₃, …, х_n.

Определение 6

Если применить квантор всеобщности по переменной x₁ к n – местному предикату P (x₁,…, x_n), то получится (n – 1) – местный предикат: Р₁(x₂,…, x_n) = (х₁)P(x₁,…, x_n), который уже не зависит от x_1, а зависит только от x₂,…, x_n. Причём, при фиксированных х₂⁰, …, х_n⁰ P₁(х₂⁰, …, х_n⁰) истинен тогда и только тогда, когда истинен предикат Р при х₂⁰, …, х_n⁰ и при всех x₁ из М.

Примеры: М – множество действительных чисел.

1. x > y – двуместный предикат Р(x, y). (х)(x > y) = Р₁(y) – предикат, зависящий уже только от y. При любом у Р₁(y) – ложно.

2. (х)(у)[(x > y)(y > x)]. Предикат (x > y)(y > x) - двуместный.

Но после двукратного применения операции квантора общности, он стал высказыванием, причём тождественно ложным, т. к. может быть и x = y.

После n – раз применения операции квантора общности, n - местный предикат становится высказыванием.

Пример: (z)(x² + y² = 0) - двуместный предикат, получен применением квантора к переменнойz, от которого предикат (x² + y² = 0) не зависит.