M3_10_13
.pdf
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
3. Выяснить, является ли ограниченной последовательность (xn ) . Ответ обосновать.
5n 3 а)(2) xn = 4n 1 ;
б)(2) xn = 2 4 2n .
4(3) (ВМК, 2001). Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии (xn ) равна 56. Известно, что все члены этой прогрессии
натуральные числа и член x12 больше 67, но меньше 74. Найти x20 .
5(3). Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма кубов всех членов в 4 раза больше суммы
всех членов, а сумма квадратов всех членов в 
7 раз больше суммы всех членов.
6(3). Найти формулу n -го члена последовательности, заданной рекуррентно:
x1 = 2, xn 1 = 2 3xn , n N.
7(2). |
Пусть |
lim xn |
= 0 |
|
|
и |
xn 0 |
|
для любого |
n . Доказать |
по |
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
определению, что lim |
|
xn |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
8(3). Доказать, что последовательность (xn ) , где xn = ( 1) |
1 |
|
, |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
не имеет предела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а)(2) |
lim |
|
|
|
|
3n2 1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1) (n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n (n |
2) 2n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б)(2) |
lim |
( 2)n |
3n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n ( 2)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||
в)*(3). Найти lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
32 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
||||||||
10*(3). Найти |
|
предел |
|
последовательности |
(xn ) , |
заданной |
|||||||||||||||||||
рекуррентным соотношением: xn 1 xn (2 xn ) , x1 12 .
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
31
2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
11. Найти
a)(2) lim |
(4 x)3 64 |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б)(2) lim |
1 2x 3 |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 4 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|||
12. Пусть |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 |
при |
x 1; |
||
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x 1 |
при |
x 1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а)(1) Построить график функции y = f (x) .
б)(3) Выяснить, в каких точках функция y = f (x) непрерывна.
2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
32