Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Педагогический Университет им. М. Акмуллы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M3_10_13

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

890.87 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Доказательство теоремы 3.1. Пусть limxn = a . Покажем, что после-

довательность (xn ) ограничена. Согласно примеру 1.3 для этого достаточно показать, что все еѐ члены лежат на некотором отрезке.

Возьмѐм = 1. Тогда по определению предела найдѐтся число k

такое,

что

все

члены

(xn )

номерами

n > k

попадают

интервал

(a 1 a 1) .

За

пределами этого интервала

может

оказаться

лишь

конечное число членов x1 ,

x2 ,

, xN ,

где N наибольший из номеров

n k . Добавим к этому набору числа a 1 и

a 1 и из полученного

набора чисел выберем наименьшее (обозначим его через

m ) и

наибольшее (обозначим его через M ). Тогда отрезок [m M ]

содержит

уже все члены данной последовательности: m xn

M для всех n .

При доказательстве теоремы об арифметических операциях с

пределами будем использовать определение предела и неравенство

| x y | | x | | y | .

(4.1)

Доказательство теоремы 3.2. Пусть lim xn

= a и limyn

= b .

Докажем, что

lim(xn

yn ) = a b . Пусть выбрано произвольное

> 0 . Нам

нужно

показать,

что

найдѐтся

такое

число

k ,

что

| xn yn a b |<

при всех n > k . По условию найдутся числа k1 и

такие, что

| x a |< ,

как только n > k , и

| y

b |<

как только

n > k2 .

Положим k = max{k1, k2}. Тогда по

неравенству

(4.1)

при

n > k имеем:

| (xn yn ) (a b) |=| (xn a) ( yn b) |

| x a | | y b |<

= ε ,

что и требовалось.

II.

Докажем,

что

lim(xn yn ) = ab .

Фиксируем произвольное

> 0 .

Нам

нужно

показать,

что

существует

такое

число

k ,

что

| xn yn ab |<

при всех

n > k ,

По теореме 3.1

последовательности

2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

(xn ) и ( yn ) ограничены; тем самым найдѐтся такое C > 0 , что | xn | C

и | yn | C при всех n , а также | a | C , | b | C . Заметим, что

и, следовательно, по неравенству (4.1)

	\| xn yn ab \| \| xn \| \| yn b \| \| b \| \| xn a \|
Ввиду условия существует число k1			такое, что \| xn a \|< /2C для
всех n > k1 , а	также	число k2 такое,	что \| yn b \|< /2C				для всех
n > k2 . Если положить k = max{k1, k2}, то при n > k имеем:
\| x y ab \| \| x \| \| y b \| \| b \| \| x a \|< C					C			= ,

n n	n	n	n	2C		2C

что и требовалось.

Для доказательства оставшегося пункта теоремы нам потребуется

следующий факт.

Лемма 4.1. Если

yn 0 и

lim yn = b 0 ,

то последовательность

(1/yn ) ограничена.

Доказательство

леммы

4.1.

Положим

в определении

предела

| b |

. Тогда существует такое число k , что | y

b |<

| b |

при всех

n > k . Из неравенства (4.1)

вытекает,

что

| yn b | | b | | yn | .

Следовательно, при всех n > k имеем

| b |

| y

| b |

Пусть N наибольший из номеров n k . Добавим к членам 1/y1 , 1/y2 , , 1/yN числа 2/b и 2/b и из полученного набора выберем наименьшее (обозначим его через m ) и наибольшее (обозначим его

через M ).	Тогда отрезок	[m M ]	содержит	все члены
последовательности (1/yn ) , что и требовалось.
Поскольку	xn /yn = xn (1/yn ) ,	пункт 3)	теоремы 3.2	вытекает из

леммы 4.1 и следующего утверждения, доказательство которого оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Утверждение. Если yn 0	и lim yn = b 0 , то	lim	1	=	1	.

	n	n yn			b

В теории пределов важную роль играет следующий факт, доказательство которого не приводим.

Теорема 4.2. (Вейерштрасса). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты состоит в том, что на числовой оси нет «проколов» и «дырок».

Вопрос. Пусть limxn = a . Имеет ли предел последовательность

(xn 1) ?

Пример 4.1. Используя теорему Вейерштрасса, доказать, что если

\| q \|< 1, то	qn = 0.
	lim
	n
Решение. Для q = 0 утверждение очевидно. Пусть q (0, 1), тогда
	xn 1 = q xn ,	(4.2)
следовательно, xn 1 < xn при всех n , т. е. последовательность		(xn )

является строго убывающей. В частности, xn < x1 при всех n . Кроме того, очевидно xn > 0 при всех n , т. е. последовательность (xn )

ограничена. По теореме 4.2 существует lim xn . Обозначим его через a .

Тогда, переходя к пределу в равенстве (4.2), получаем a = q a , т. е. a = 0 .

Пусть теперь q ( 1, 0) , тогда справедливо неравенство

| q |n qn | q |n .

Поскольку | q | (0, 1) , то по доказанному выше lim | q |n = 0 , тогда

согласно примеру 3.6 и lim( | q |n ) = 0 . По теореме о «зажатой»

последовательности (теорема 3.3) limqn = 0 , что завершает доказатель-

ство.

Дадим обоснование одного способа приближѐнного извлечения квадратных корней, встречавшегося еще в древних вавилонских текстах.

2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Пример 4.2. Последовательность (xn ) задана рекуррентно

		1			a
x	=	1	x		a	,	(4.3)
x	=		x			,	(4.3)
n 1	2			n
	2				xn

где x1 > 0 , a > 0 . Доказать, что limxn

a .

Решение. Поскольку x1

> 0 и a > 0 ,

все члены последовательности

положительные. Применяя неравенство (c d )/2

cd для среднего

арифметического и среднего геометрического, из (4.3) получаем:

= a,

n 1

т. е. xn

a для всех n 2 . Отсюда вытекает, что

a x2

n 1

2xn

т. е. последовательность

(xn ) является

нестрого

убывающей при

n 2 . Кроме того, (xn )

ограничена:

a xn x2 для всех n 2 . По

теореме

4.2 существует

lim xn = b

и по теореме

3.4

b a > 0 .

Переходя в равенстве (4.3)

к пределу,

получаем b =

) , откуда

b2 = a и, значит, b = a .

§5. Понятие о пределе функции. Непрерывность функции

Пусть функция	y = f (x) определена на некотором			интервале,
содержащем точку	a R , за исключением, быть может, самой точки
a .3
Определение. Число A называется пределом функции				y = f (x)	в
точке a , если для	любой		последовательности (xn ) из	области	еѐ

3 Например, функция	y =	sin x	определена на любом интервале, содержащем
3 Например, функция	y =	x	определена на любом интервале, содержащем
		x

точку 0, кроме самой точки 0.

2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

определения такой, что xn a	и limxn = a, выполняется равенство
	n
lim f (xn ) = A .
n
Обозначение: lim f (x) = A, или	f (x) A при x a .
x a

Замечание. В определении предела рассматриваются значения xn ,

не

равные

a ,

поэтому в

самой

точке a функция y = f (x)

может

быть не определена; если значение

f (a) определено, то оно

не

f (x1)

обязано совпадать с A . К тому же,

f (x2)

поскольку

последовательность

f (xn)

( f (xn )) имеет не более

одного

предела, получаем, что если

функция

y = f (x)

имеет

предел

a xn x2

при

x a ,

то

этот

предел

Рис. 3

единственный.

На

рисунке

изображена

лишь

одна последовательность (xn ) ,

которая к тому же является монотонной.

Важно понимать,

что

lim

f (xn ) = A для любой последовательности (xn ) с условием xn

и limxn = a .

Пример 5.1. Доказать, что limx = a .

x a

Решение. Очевидно		функция			f (x) = x определена	на любом
интервале,	содержащем		a .	Выберем произвольную		последова-
тельность	(xn ) такую,	что	xn	a	и limxn = a . Тогда f (xn ) = xn и,
					n

значит, lim f (xn ) = a .

Пример 5.2. Доказать, что постоянный множитель можно выносить

за знак предела, т. е. если lim f (x) = A , то	lim cf (x) = cA	для любого
x a	x a
c R .
Решение. Пусть функция y = f (x)	определена на	некотором

интервале, содержащем a . Выберем из этого интервала произвольную

2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

последовательность (xn ) такую, что xn a и				limxn	= a . Тогда		из
				n
примера 3.6 следует limcf (xn ) = clim f (xn ) = cA , что и требовалось.
n	n
Пример 5.3. Доказать, что при a > 0 lim
Пример 5.3. Доказать, что при a > 0 lim			x =	a .
		x a

Решение. Функция f (x) =	x определена при x 0 и, следова-
тельно, определена на некотором интервале,			содержащем a . Выберем
из этого интервала произвольную последовательность (xn ) такую,							что
xn a и limxn = a . Нам нужно показать, что
xn a и limxn = a . Нам нужно показать, что			lim	xn =		a . Фиксируем
n			n

произвольное > 0 , тогда найдѐтся такое число k , что при n > k выполняется неравенство | xn a |< a . Следовательно,

| ( xn a )(

a ) |

| xn

a |

| xn

a |=

< ,

что и требовалось.

Пример 5.4. Доказать, что lim

= 2 .

x 1 x

Решение. Функция f (x) =

x2 1

определена на любом интервале,

x 1

содержащем x = 1, кроме этой точки. Поскольку при x 1 имеет место

равенство f (x) = x 1,		то для любой последовательности (xn ) такой,
что xn	1 и lim xn = 1	выполняется lim f (xn ) = lim xn 1 = 2 .
	n	n	n

При решении последних примеров мы повторяли одни и те же рассуждения. Их можно применить при доказательстве свойств пределов функций и в дальнейшем при вычислении уже пользоваться

этими свойствами.
Теорема 5.1. Пусть функции y = f (x) ,		y = g(x) определены на
некотором интервале, содержащем точку		a R , за исключением,
быть может, самой точки a , lim f (x) = A и lim g(x) = B . Тогда
	x a	x a
1)	lim( f (x) g(x)) = A B
	x a
2)	lim f (x)g(x) = AB
	x a

2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

3) если дополнительно g(x) 0 при x a , B 0 , то

lim f (x) = A . x a g(x) B

Доказательство. Приведѐм доказательство лишь для свойства 2). Остальные свойства доказываются аналогично.

Пусть некоторая произвольная последовательность (xn ) из интервала, на котором определены функции, такова, что xn a и

limxn = a . Тогда по определению предела функции	lim f (xn ) = A и
n	n

limg(xn ) = B . По теореме 3.2 2)

произвольности последовательности

lim f (xn )g(xn ) = AB .	В силу
n
(xn ) и определения	предела

функции получаем, что lim f (x)g(x) = AB.

x a

Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке

a , если lim f (x) = f (a) , т. е. если для любой последовательности (xn )

x a

из области определения функции такой, что limxn = a , выполняется

равенство lim f (xn ) = f (a) .

Замечание. Отметим два обстоятельства, связанных с определением непрерывности. Во-первых, оговорка xn a здесь не нужна, т. к. при

xn = a соответствующие значения f (xn ) равны f (a) . Во-вторых, важно понимать, что если функция y = f (x) непрерывна в точке a , то

1) она определена в точке a ; 2) существует lim f (x) = A и 3) A = f (a) .

x a

Если хотя бы один из пунктов 1) – 3) не выполнен, то функция не является непрерывной в точке a .

Пример 5.5. Функция f (x) = x непрерывна в любой точке a R .

Это следует из примера 5.1 и определения непрерывности функции. Замечание. Из теоремы 5.1 вытекает, что если функции y = f (x) ,

y = g(x) непрерывны в точке a , то функции y = f ( x ) g(x) , y = f ( x )g(x) , y = f (x)/g(x) ( g(a) 0 ) также непрерывны в a .

2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной на

интервале (конечном или бесконечном), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Пример 5.6. Многочлен непрерывен на всей числовой прямой.

Решение. Пусть P(x) = a xn a		xn 1	a x a многочлен сте-
n	n 1		1	0
пени n , a R . Нам нужно показать, что limP(x) = P(a) .
		x a
Поскольку функция f (x) = x	непрерывна в точке a , то последова-

тельно применяя пункт 2) теоремы 5.1, получаем, что lim xm = am при
						x a
любом натуральном m . Далее, по теореме 5.1 1) получаем:
lim P(x) = lim an xn lim an 1xn 1 lim a1x lim a0 =
x a	x a		x a		x a	x a
	= an lim xn an 1 lim xn 1			a1 lim x lim a0 =
	x a	x a			x a	x a
	= a an	a	an 1	a a a = P(a) .
	n	n 1		1	0

Обоснование переходов будет проще понять, читая последнюю цепочку равенств с конца.

Замечание. Вообще, все элементарные функции, изучаемые в школьном курсе, непрерывны в каждой точке, в окрестности которой эти функции определены. Например, из примера 5.2 вытекает, что

функция x непрерывна на (0 ) .

Пример 5.7. Найти

lim

(x3 (x 3)2 11) .

x 2

Решение. Поскольку

(x 3)2 =| x 3 | и | x 3 |= 3 x при x 3 ,

то f (x) = x3 | x 3 | 11 = x3 x 14 при

x 3 .

Многочлен

P(x) = x3 x 14 непрерывен на всей числовой прямой,

и в частнос-

ти, в точке x = 2 . Поэтому lim f (x) = P(2) = 23 2 14 = 20 .

x 2

Ответ. 20 .

Пример 5.8. Найти lim

x 1 2

x 5

Решение. Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через f (x) . В числителе и знаменателе дроби f (x) стоят функции,

непрерывные в точке x = 5 . Предел этих функций при x 5 равен их

2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

значению в точке x = 5 , т. е. равен 0. В этом случае говорят, что имеет

место неопределѐнность	0	. Для еѐ «раскрытия» приходится прибег-

	0

нуть к искусственному приѐму – умножению числителя и знаменателя дроби f (x) на «сопряжѐнное выражение» x 1 2 :

lim f (x) = lim

( x 1 2)(

x 1 2)

= lim

x 5

(x 5)( x 1 2)

(x 5)(

x 1 2)

x 5

= lim

x 1 2

x 5

1 2

Предпоследнее равенство получено в силу непрерывности функции

y = в точке x = 5 .

x 1 2

Ответ. 1/4 .

Контрольные вопросы

1(1). Может ли последовательность быть одновременно арифметической и геометрической прогрессией? Если ответ положительный, привести пример; если нет, объяснить почему.

2(1). При каком условии на d арифметическая прогрессия (xn )

будет строго убывающей? Ответ обосновать.

3(2). Найти сумму всех (положительных) нечѐтных трѐхзначных чисел.

4(2). Сумма пятого и девятого членов геометрической прогрессии равна 7. Найти сумму их квадратов, если произведение шестого и восьмого членов этой прогрессии равно 12.

5(1). Записать в виде обыкновенной дроби 0,1(24) = 0,124242 . 6(2). Найти формулу n -го члена последовательности (xn ) , заданной

рекуррентно: x1 = 1 , xn 1 xn n , n N .

7(1). Что означает, что число a не является пределом последовательности (xn ) ? При ответе не используйте негативных формулировок типа «неверно, что».

8(2). Является ли последовательность xn n3 сходящейся? Ответ обосновать.

2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

9(2).	Пусть	последовательность		(xn ) такова,	что xn 0	при
n 100 ,	и xn	1 при	n 100 .	Доказать по	определению,	что

lim xn = 1.

10(2). Известно, что lim xn = 1 . Могут ли все члены последова-

тельности быть отрицательными? Ответ обосновать.

11. Известно, что последовательность (xn ) имеет предел, а последовательность ( yn ) не имеет.

а)(2). Может ли иметь предел последовательность (xn yn ) ? Если ответ положительный, привести пример; если нет, объяснить почему.

б)(3) Тот же вопрос при дополнительном условии, что предел (xn ) и все члены xn положительны.

12(2). У линейной функции y = 3x 1 изменили значение y(0) 1

на 1, т. е. рассмотрели новую функцию
				3x 1		при	x 0;
				f (x) =
				1		при	x = 0.
а) Имеет ли функция y = f (x) предел в точке x = 0 ?
б) Является ли функция					y = f (x)	непрерывной в точке		x = 0 ?
Ответ обосновать.
					Задачи
1. Выяснить, является ли монотонной							последовательность	(xn ) .
Ответ обосновать.
а)(2)	x	=	5n 3	;
а)(2)	x	=		;
	n		4n 1
			4n 1
б)(2)	x	= 1 ( 1)n .
	n
2. а)(2) Доказать, что при					q , \| q \| 1,		геометрическая прогрессия
(xn ) является ограниченной.
б)*(2) Доказать, что при q ,					\| q \| 1, геометрическая прогрессия (xn )
не является ограниченной.

2013, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.2019135.67 Кб36Lektsii_po_PED_TEKhNOLOGIYaM.docx
#
18.03.2015827.9 Кб44lektsii_po_pravovedeniyu.doc
#
18.03.201533.38 Кб29lektsii_Skalina (1).docx
#
18.03.201547.62 Кб44Lexical and syntactical Stylistic Devices.doc
#
18.03.2015100.86 Кб12Leybnits_Monadologia.doc
#
19.03.2015890.87 Кб22M3_10_13.pdf
#
19.03.2015122.71 Кб42Mantry_s_perevodami.pdf
#
18.03.2015130.05 Кб2Mark_K_Nischeta_filosofii.doc
#
18.03.2015145.39 Кб21matematika(1).docx
#
18.03.201583.98 Кб7matematika.docx
#
15.11.20181.38 Mб19MATLAB 4-ая методичка МиграноваНГ.doc