- •Лабораторные работы по механике
- •Предисловие
- •Введение Место физики среди естественных наук и роль измерений в физике
- •Порядок работы в лаборатории
- •Виды физических измерений
- •Единицы измерения
- •I. Элементы теории погрешностей Ошибки измерения (погрешности) и причины их возникновения
- •Определение величины ошибки при прямых измерениях
- •Коэффициенты Стьюдента
- •Относительная ошибка
- •Пример записи результатов прямых измерений
- •Функция нескольких переменных (ошибки косвенных измерений)
- •Способы уменьшения ошибки измерения
- •Некоторые правила приближенных вычислений
- •Графическое представление результатов
- •II. Простейшие физические измерения Линейный нониус и штангенциркуль
- •Микрометрический винт и микрометр
- •Угловой нониус и оптический угломер
- •Технические весы
- •Аналитические весы
- •Электрические весы
- •Торсионные весы
- •Общие правила работы с весами
- •Лабораторная работа № 1 Проверка градуировки шкалы весов и определение их чувствительности
- •Краткая теория работы
- •Ход работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 2 определение массы капли воды
- •Краткая теория работы
- •Ход работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 3 Измерение линейных и угловых размеров твердого тела
- •Форма отчета по лабораторной работе № 3
- •I. Измерения штангенциркулем
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 4 Определение объема и плотности твердого тела
- •Краткая теория работы
- •Ход работы
- •Форма отчета по лабораторной работе № 4
- •II. Определение плотности твердого тела неправильной формы Ход работы
- •Контрольные вопросы
Функция нескольких переменных (ошибки косвенных измерений)
Часто встречаются случаи, когда искомая функция зависит от нескольких величин, каждая из которых определяется с ошибкой. Например, объем цилиндра зависит как от радиуса r (или диаметра d), так и от высоты h:
.
Общую функциональную зависимость в этом случае можно представить в виде ЕслиА и В являются отклонениями измеренных значений от истинных параметров, то степень зависимости Z от них будет также обусловлена частными производными
В этом случае для каждой серии измерений
или .
При этом мы можем указать знак отклонения в большую или меньшую сторону) для А и В. Для данной серии может получиться, что знаки ошибок противоположны и скомпенсируют друг друга, однако это не говорит о большой точности измерения.
Чтобы избежать зависимости от знака ошибки при усреднении по всем сериям, пользуются следующим способом. Возведем в квадрат выражение для Z:
.
Затем, усреднив по сериям и учитывая, что в связи со случайным, но равновероятным появлением знаков (+) и (–) у А и В , получим
.
Пример. Найдем ошибку в определении объема цилиндра. Сначала определим частные производные:
.
Абсолютная погрешность в определении объема будет:
.
Если Z - функция произвольного числа аргументов, т. е. Z= Z(A,B,D,E....), то среднеквадратичная ошибка среднего , которую мы здесь обозначим какZ, будет равна:
.
Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, погрешность величины у, представляющей собой функцию от переменных х1, х2, …, хn: у=f(х1, х2, …, хn ), можно записать в виде
,
где х1, х2, …, хn - абсолютные погрешности х1, х2, …, хn соответственно, f/x1, f/x2, …, f/xn – частные производные у по переменным х1, х2, …, хn соответственно. Частная производная функции многих переменных f(х1, х2,…, хn) по одной переменной, допустим х1, является обычной производной функции f по х1, причем, другие переменные х2, …, хn считаются постоянными величинами. Все производные вычисляются при значениях х1 = х1ср, х2 = х2ср, …, хn = хnср.
Относительную погрешность величины у можно вычислить согласно формуле:
.
Поскольку , то для относительной погрешности получаем
.
Рассмотрим в качестве примера функцию трех переменных u = xy/z, где , , – любые рациональные числа, тогда относительную погрешность измерения величины u можно рассчитать по формуле:
u = ( 2x 2 + 2y 2 + 2z 2)1/2,
где x, y, z - относительные ошибки измерений величин x, y, z.
При невысокой точности измерительных приборов случайными ошибками обычно можно пренебречь по сравнению с погрешностью измерительного прибора. Для получения результата достаточно одного отсчета.
Пусть Z = f(A, B, D, …), где A, B, D, …– непосредственно измеряемые величины, а A, B, D, … – их абсолютные систематические ошибки, тогда можно предложить следующий алгоритм нахождения абсолютной ошибки косвенных измерений:
Продифференцируем формулу исследуемой величины:
.
Знаки дифференциалов “d” заменяем знаками погрешностей “”, в случае получения в реальной формуле знаков “–” у каких-либо частных производных заменяем их на знаки “+”:
В некоторых случаях сначала удобнее находить относительную ошибку и уже затем абсолютную.
Пусть функциональная зависимость имеет вид: .
Прологарифмируем исходную формулу:
.
Продифференцируем полученную в результате логарифмирования формулу:
.
Знаки дифференциалов “d” заменяем знаками погрешностей “”, в случае получения в реальной формуле знаков “–” у каких-либо частных производных заменяем их на знаки “+”:
.