- •Лабораторные работы по механике
- •Предисловие
- •Введение Место физики среди естественных наук и роль измерений в физике
- •Порядок работы в лаборатории
- •Виды физических измерений
- •Единицы измерения
- •I. Элементы теории погрешностей Ошибки измерения (погрешности) и причины их возникновения
- •Определение величины ошибки при прямых измерениях
- •Коэффициенты Стьюдента
- •Относительная ошибка
- •Пример записи результатов прямых измерений
- •Функция нескольких переменных (ошибки косвенных измерений)
- •Способы уменьшения ошибки измерения
- •Некоторые правила приближенных вычислений
- •Графическое представление результатов
- •II. Простейшие физические измерения Линейный нониус и штангенциркуль
- •Микрометрический винт и микрометр
- •Угловой нониус и оптический угломер
- •Технические весы
- •Аналитические весы
- •Электрические весы
- •Торсионные весы
- •Общие правила работы с весами
- •Лабораторная работа № 1 Проверка градуировки шкалы весов и определение их чувствительности
- •Краткая теория работы
- •Ход работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 2 определение массы капли воды
- •Краткая теория работы
- •Ход работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 3 Измерение линейных и угловых размеров твердого тела
- •Форма отчета по лабораторной работе № 3
- •I. Измерения штангенциркулем
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 4 Определение объема и плотности твердого тела
- •Краткая теория работы
- •Ход работы
- •Форма отчета по лабораторной работе № 4
- •II. Определение плотности твердого тела неправильной формы Ход работы
- •Контрольные вопросы
Определение величины ошибки при прямых измерениях
Пусть, измеряя некоторую величину х, мы получим серию результатов х1, х2, х3,..... хn. Которое из этих значений является наиболее близким к истинному?
Теория ошибок указывает, что наиболее близким к истинному значению измеряемой величины будет среднее арифметическое значение ряда отдельных измерений, т. е.
.
Причем, при n, xсрхист.
При вычислении среднего арифметического измеряемого значения ошибки в сторону увеличения и уменьшения величины наилучшим образом компенсируют друг друга. Величина
называется отклонением данного i-того измерения от среднего.
Абсолютная величина наибольшего из этих отклонений определяет границы интервала значений искомой величины.
Предположим, при измерении величины x мы получим ряд значений 1,790; 1,795; 1,800; 1,805; 1,810; а пользуясь другим прибором, получим 1,76; 1,78; 1,80; 1,82; 1,84. В обоих случаях среднее значение x = 1,80, но интервалы допустимых значений в первом и во втором случаях не одинаковы и равны соответственно (1,79 1,81) и (1,76 1,84), таким образом, во втором случае он шире.
Если повторять измерение большое число раз, то внутри интервала, ограниченного наибольшими отклонениями, будет располагаться все большее число полученных значений. Если весь интервал разброса разбить на равные участки dх, то большее количество результатов в них будет помещаться на центральных участках, а по мере удаления от центра число результатов, приходящихся на участок dх, будет убывать. Обозначим относительное число всех измерений, приходящихся на участок dх, через , гдеn - общее число всех измерений. Тогда на единичный отрезок интервала придется относительное число значений .
Если мы вычертим график зависимости отх, то получим кривую, показанную на рис. 1.
Из рисунка 1 видно, что чем больше участок dх удален от хср, тем меньше результатов измерения на него приходится. Не вникая в детали статистической теории погрешности, скажем лишь, что при вид кривой, приведенной на рис. I, хорошо описывается функцией Гаусса
,
где - так называемое среднеквадратичное отклонение, определяющее ширину интервала разброса результатов измерения. Величина определяет вид кривой Гаусса: чем меньше величина, тем быстрее функциястремится к нулю по обе стороны отхср. Приближенно можно считать, что полуширина кривой Гаусса на ее полувысоте равняется . Наилучшим приближением кявляется величинаS, которую называют среднеквадратичной ошибкой отдельного измерения:
при .
Если мы провели не одну, а несколько серий (m – серий) измерений и в каждой получили среднеарифметическое значение хср.к (где к – номер серии ), то эти значения также распределились вокруг искомого хист, но уже с меньшим разбросом, который характеризовался бы среднеквадратичной ошибкой среднего .связано спростым соотношением
.
Отсюда, считая S хорошим приближением для , получим
или .
Истинное значение измеряемой величины принципиально недостижимо, за исключением редких случаев Величина определяет максимальные границы разброса полученных значений; внутри интервалахср m лежит лишь около 68% всех измеренных значений, т. е. вероятность попадания искомой величины в данный интервал составляет 68% или 0,68. Эта величина носит название доверительной вероятности (коэффициента надежности), а сам интервалхср m – называется доверительным интервалом. Величина возрастает от 95 % или 0,95 внутри интервала хср 2m и до 99,7 % или 0,997 внутри интервала хср 3m.
хср-σm хср хср+σm
2σm
Однако все эти рассуждения справедливы лишь в случае точно заданной величины . Так как мы используем вместолишь его приближенное значениеS и ограничиваемся сравнительно небольшим числом измерений, то определение ширины доверительного интервала, внутри которого с определенной вероятностью находится искомое значение:
х = tn m,
будет определяться коэффициентом tn, зависящим как от числа проведенных измерений (n), так и заданной доверительной вероятностью (). Эти коэффициенты – коэффициенты Стьюдента (такой псевдоним принял английский химик Госсет) рассчитаны для различныхn и и приводятся в таблицах.
Так, для n = 5и= 0,95=2,8,а ширина доверительного интервала. Эта величина и должна приводиться в качестве ошибки.
Значение коэффициентов Стьюдента приводится в Таблице 1.
Таблица №1