
- •Комбинаторные формулы
- •Теорема умножения вероятностей
- •Числовые последовательности
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Сходящиеся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей
- •1.3. Число «е»
- •1.2.2. Объем шара и пирамиды
- •Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
- •Случайные величины.
- •3.1. Закон распределения дискретной случайной величины
- •3.2. Закон распределения непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятности.
- •§1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
- •1.7.1 Формула Бернулли
- •1.7.2 Наивероятнейшее число успехов.
- •Нормальный закон распределения.
- •Совместное распределение двух случайных величин.
- •3 Ряд распределения, многоугольник распределения
Числовые последовательности
Определение 1.1.1. Если каждому n из множества натурального ряда чисел поставлено в соответствие по определённому закону некоторое вещественное число xn, то множество чисел x1,x2,x3,….,xn,…. называется числовой последовательностью и обозначается {xn}, при этом xn называется общим членом числовой последовательности. Числа xn называются элементами или членами числовой последовательности.
Например,
последовательность с общим членом
xn=,
будет последовательностью чисел
1,
,
,…..,=
.
Последовательность
с общим членом xn=1+(-1)n
будет
последовательностью чисел
Арифметическая и геометрическая прогрессия также являются числовыми последовательностями.
Арифметическая
прогрессия –
это числовая последовательность с
общим членом xn=x1+(n-1),
где d
– разность
арифметической прогрессии
Например, 1, 5, 9, …, 4n-3, … ; xn=1+4(n-1)=4n-3, d=4
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность с общим членом xn=xi qn-1 ,где q – знаменатель геометрической прогрессии
Например:
3,
.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Числовые последовательности бывают бесконечно большими и бесконечно малыми.
Определение
1.1.2.
Последовательность {xn}
называется бесконечно
большой,
если для любого положительного числа
А,
сколь угодно большого, можно указать
номер N
такой, что при n
N
все элементы последовательности xn
удовлетворяют неравенству
Например,
последовательность натурального ряда
чисел 1, 2, …, n,
… является бесконечно большой, т.к,
какое ни возьми число N,
начиная с которого, для nN,
члены последовательности будут всё-таки
больше А.
Последовательность
1, 2, 1, 3, 1, 4, …, 1, n,
… не является бесконечно большой, так
как для всех нечетных членов этой
последовательности неравенство
не будет
выполняться.
Определение
1.1.3. Последовательность
{n}
называется бесконечно
малой, если
для любого положительного числа
,
сколь угодно малого, можно указать
номерN
такой, что при n
N
все элементы
.
Например,
геометрическая прогрессия, у которой
знаменатель
, является
бесконечно малой числовой
последовательностью.
Рассмотрим
геометрическую прогрессию с общим
членом
1,
Изобразим точками на числовой оси элементы этой последовательности (см.рис.1.1.)
Рис.1.1.
Числовая последовательность с общим
членом
Выберем
сколь угодно малое число
,
например,
=0,1. Начиная
с номераN
=5, для всех членов последовательности
справедливо неравенство xn<0,1.
Если выбрать
=0,01, то, начиная
с номераN
=8, для всех членов последовательности
справедливо xn<0,01.
Если
в неравенстве<
раскрыть
модульные скобки, то (-
<
<
)
показывает, что начиная с номераN,
зависящего от
, все члены
последовательности попадают на интервал
(-
;
).
Для рассмотренного примера, при
=0,1, начиная сN
=5 члены последовательности попадают
на интервал(-0,1;0,1); при
=0,01 на
интервал(-0,01;0,01). Чем меньше
, тем больше
номерN.
Все члены последовательности приближаются
к нулю, но ни при одном n,
не обращаются в нуль.
Рассмотрим
пример последовательности с общим
членом xn=(-1),
1,
Изобразим точками на числовой оси элементы этой последовательности (см. рис.1.2)
Рис.1.2.
Числовая последовательность с общим
членом xn=(-1)
Видно,
что члены последовательности приближаются
к нулю, при этом ни один элемент
последовательности не равен нулю. Для
любого, сколь угодно малого,
>0, можно
указать номерN,
начиная с которого для всех n
N,
справедливо неравенство
<
.
=0,1,
номер N
=11
=0,01, номерN
=101 и т.д.
Значит, последовательность также является бесконечно малой.
Основные свойства бесконечно малых последовательностей
Сумма бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
.
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая
.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая
.
Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определена последовательность
, которая является бесконечно малой.
.
Если все члены бесконечно малой последовательности
не равно нулю, то последовательность
бесконечно большая.
.