Нормальный закон распределения.

Если плотность распределения случайной величины  определяется формулой

, (1)

где а – произвольное число, а  – положительное число, то говорят, что  распределена по нормальному закону или что  “нормальная” случайная величина.

Значения а и  полностью определяют функцию р(х). Для неё иногда вводится обозначение: p(x) = n(x;a;).

График плотности распределения нормальной случайной величины при некоторых значениях а и  представлен на рисунке 6. График симметричен относительна прямой х = а, и выполняются условия: р(х)  0 при х  . Если а увеличивать, оставляя  неизменной, то график будет перемещаться вправо, а если а уменьшать, то – влево, не изменяя формы.

Если значение а неизменно, то относительно малому значению  будет соответствовать график р(х) с выраженным пиком, как на рисунке 2. При относительно большом значении  график р(х) представляет собой пологую кривую, как изображено на рисунке 3.

Функция распределения F(x) нормальной случайной величины  иногда обозначается N(x;a;). Она обычным образом получается из плотности распределения :

Графики функции F(x) для нормально распределённых слу­чайных величин при отно­сительно малых и относительно больших значениях  изобра­жены, соответственно, на рисунках 4 и 5.

Из симметрии графика функции плотности распределения р(х) нормально распределённой случайной величины  относительно прямой х = а следует, что М = а.

Если вычислить дисперсию D нормально распределённой случайной величины, то оказывается, что она равна ².

Таким образом, параметры а и  в формуле для плотности распределения случайной величины, распределённой по нормальному закону, приобретают смысл: а – математическое ожидание, ² – дисперсия.

Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина  примет значение из промежутка (х₁, х₂) рассчитывается по формуле

Здесь – интегральная функция Лапласа –;

.

Значения (х) определяются из таблиц, как это показывалось ранее.

Если случайная величина  имеет плотность распределения, выражающуюся функцией n(x;0;1), то есть  – нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице, то

Случайную величину с плотностью распределения n(x;0;1) можно принять за некоторый эталон для случайных величин, распределённых по нормальному закону. График плотности распределения такой случайной величины симметричен относительно оси ординат.

Пусть  и  – независимые нормально распределённые случайные величины, при этом М = а₁, D = ₁², М = а₂, D = ₂². Тогда случайная величина , равная сумме с₁ + с₂ (с₁ и с₂ – любые числа), тоже распределена по нормальному закону. Её математическое ожидание и дисперсия определяются формулами: М = с₁а₁ + с₂ а₂, D = с₁²₁² + с₂²₂².

Задача. Масса ящика, вмещающего 12 бутылок – нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием 2 кг и среднеквадратическим отклонением 0,01 кг. Масса бутылки с пивом – тоже нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием 0,8 кг и среднеквадратическим отклонением 0,04 кг. Найти вероятность того, что масса ящика с 12-ю бутылками пива будет находиться в пределах от 11 до 11,5 килограммов.

Правило 3-х  (трех “сигм”).

Пусть имеется нормально распределённая случайная величина  с математическим ожиданием, равным а и дисперсией ². Определим веро­ятность попадания  в интервал (а – 3; а + 3), то есть вероятность того, что  принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P(а – 3<  < а + 3)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)

По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практи­чески равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3.

(Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить практически тот же вероятностный результат. Учитывая, что Ф(2)=0,477, можно было бы говорить и о правиле 2–х “сигм”.)