Лекция 2(число_е)

п.2. Число е как предел последовательности

Теорема 2. Последовательность – сходящаяся.

Дано: последовательность .

Доказать: .

Доказательство. 1. Рассмотрим вспомогательную последовательность

, (2)

докажем, что она сходится. Воспользуемся Т. о пределе монотонной последовательности. Заметим, что {у_n }– ограниченная, так как по лемме Бернули

,

причём ограничена снизу числом 2.

2. Докажем, что (2) невозрастает, для этого рассмотрим частное:

.

Получили (2) – невозрастает.

На основании 1–2 заключаем, что (2) сходится.

Заметим, что – сходится, как частное сходящихся последовательностей (числитель { у_n } –сходящаяся последовательность, знаменатель – сходится, причём) .

Замечание 1. По Л.Эйлеру (швейцарский математик 1707–1783), число, которое является пределом последовательности обозначают

e = 2,718281828459045... – иррациональное число, т. обр.

= e. (3)

Замечание 2. Если число e взяць за основание логарифма, то такой логарифм называют натуральным логарифмом и абазначают ln . Значит, по определению ln х= log_e x.

В заключение построим графики функций у= ln х и у=е^х (e >1):