
ГОС / MODUL_3_TFDP
.docМ3 - 1.Мощность множества. Счетные множества, их свойства. Несчетность R[0,1]. Мощность континуума. Сравнение мощностей.
1.Множество.
Термин «множ-во» употреб. как обознач. совокупности различных предметов или объектов, объединенных в одно целое. Для сравнения числа элементов множеств, для конечных множеств используется 2 способа: 1) подсчет элементов; 2)установление взаимнооднозначного соответствия между элементами сравниваемых множеств. Для бесконечных множеств возможно сравнение только 2-ым способом.
О1. Пусть f отображение мн-ва А на множ-во В, если при этом кажд. эл-т мн-ва В явл образом единствен. эл-та из мн-ва А, то f назыв взаимно- однозначным отображением мн-ва А на мн-во В.
2.Отношение равномощности.
О2.если сущ-ет хотя бы одно взаимноодноз-ное отображение мн-ва А на мн-во В, то эти мн-ва наз равномощными. Обозн А~В
Пр.мн-во всех натур. чисел равномощно мн-ву целых отриц чисел.
Осн. св-ва:
1) А~А (РФ)
(сущ.отображ-е
,
т.ч.
=>
А~А
2) А~В ↔ B~А (СММ)
А~В-взаимоодн.=>
-обратное:
,
-тоже
вз/однозн=>
B~А(
по опред)
3) А~В и В~С=>А~С (ТРАНЗ)
А~В-взаимоодн.
В~Сf-
взаимоодн.
равномощность есть отношение эквивал-ти
3.Опр. мощности
О3:
Общая характеристика класса эквив-х
м/у собой мн-в наз-ся мощностью(кардинальное
число) любого мн-ва данного класса и
обоз-ся .
4.Счетные мн-ва
О4:Всякое
мн-во,равномощ-е мн-ву всех натур.чисел,назыв
счетным,а
его мощность обозначается буквой
-алеф-нуль.
Пр:мн-во целых отриц.чисел,мн-во квадратов натур.числа.
5.Св-ва
Т1:Для того,чтобы мн-во было счетным необх и дост,чтобы его эл-ты можно было перенумеровать,иначе говоря представить в виде последовательности.
Док-во:1.Необходимость
Пусть А-счетно,тогда
А~N
(по df).Т.к.
равномощ-ть А и N
означ.что для любого
взамноодн.
Соотв-ет единст.натур.число n,то
для представления мн-ва А в виде послед-ти
достаточно для любого
приписать в
качестве индекса,то натур.число n,кот.
ему поставл. во взаимноодн. соотв-е.
2.Достаточность
Пусть теперь эл-ты
мн-ва А можно представ.в виде послед-ти:
..
взаимноодн.отображение
Nможно
задать след.образом g(
)=n.ЧТД
Т2: Из всякого беск-ого мн-ва можно выд-ть счетное подмн-во.
Т3: Любое бесконечное подмн-во счетного мн-ва счетно.
Т4: Объед-ие конеч-го мн-ва и счетного мн-ва счетно.
Т5: Объед-ие конеч-го числа счетных мн-в счетно.
Док-во: А1: а11 а12 а13 … а1n…
А2: а21 а22 а23 …а2n…
Аm: am1 am2 am3 … amn…
Записывать эл-ты объед-я будем по столбцам,е/и эл-ты повторяются-их опускаем, в результате каждый элемент объединения получит свой номер, причем получится бесконечный упорядоченый ряд чисел,эл-ты представл.в виде послед-ти,значит оно счетно.
Т6: Объед-ие счетного мн-ва счетных мн-в счетно.
Т7: Объед-ие счетного мн-ва конеч-х мн-в либо конечно, либо счетно.
6.Счетность мн-ва рациональных чисел.
Т8:Мн-во рацион-х чисел счетно
7.Несчетность [0;1]
Т7: Мн-во действ-х чисел отрезка [0;1] несчетно.
Док-во:
(МоП) Предпол, что мн-во [0;1] счетно,т.е.
его можно предст.в виде после-ти
Разделим отрезок [0,1] на 3 части и за [
]
обозначим тот, который не содержит т.
,
если таких отрезка 2 выберем любой. [
]
снова разделим на 3 части и за
обозначим тот, который не содержит т.
…
по построению не содержит т.
его снова
разделим на 3 части и за
обозначим ту которая не содержит т.
… В результате получим последовательность
[0,1]
вложенных отрезков длины стремящейся
к 0, т.к.
=
по т.Кантора о вложенных отрезков. (*)(
,
потому, что
[0,1]
при всех n
N,
то т.
по
предположению имеет какой-то номер
но по построению
,
что противоречит условию(*). Следовательно,
предположение было неверно и точки
отрезка нельзя перенумеровать.
8.Мощность континуума
О: Любое мн-во равномощное мн-ву всех дейст-х чисел отрезка [0,1] наз-ся мн-ом мощности континуум и его мощность обозн. Буквой С.
Пр:1. Мн-во всех дейст-х чисел R имеет мощность С.
2.Отрезок [0;а] имеет мощность С, интервал, полуинтервал – им.мощность С
9.Сравнение мощ-ти и проблема континуума
О:Будем
говорить,что
<
,е/и
1.
2. А~В1,
В1
В.
Т8: Пусть
множество А содержит в себе
и
,
и А~
,
тогда А~
.
Т9(Кантора-Бернштейна):е\и каж.из 2 данных мн-в равномощно некот.подмн-ву другого,то данные мн-ва равномощны.
Замеч-е:В силу
теор.(из всяк.бескон-го мн-ва можно
выдел.счетное подмн-во)счетная мощность
явл.наимен.из всех,в частонсти
<C.Возн.вопрос
сущ-ет ли мн-во имеющее мощность >
и <C
–этот вопрос не решен, предполож-е что
их не сущ-ет –есть гипотеза континуума.