Лабораторная работа № 2

Определение моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса

1. Цель и задачи работы

Цель работы:

• Ознакомление студентов с методом измерения момента инерции тела.

Задачи работы:

• Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел.

• Проверка теоремы Штейнера.

• Сравнение теоретических значений моментов инерции тел с результатами, полученными экспериментальным путем.

• Определение погрешности измерений.

2. Теоретическая часть

1. Момент инерции, теорема Штейнера

Моментом инерции I материальной точки относительно оси называют произведение массы этой точки m на квадрат ее расстояния r до оси

.

Моментом инерции I системы n материальных точек относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек системы

.

Представляя тело состоящим из сколько угодно малых частей объемом и массы , его момент инерции можно рассчитать как

,

(1)

где r – расстояние от элемента тела объемом до оси, относительно которой рассчитывается момент инерции.

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Так как , где – плотность тела в данной области , то формулу (2) можно записать в виде

.

Если тело однородно, т.е. , то

.

Наиболее просто определяются моменты инерции тел правильной геометрической формы с равномерным распределением массы по объему. Для примера найдем момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) массой m и радиусом R относительно оси симметрии. Для этого тело мысленно разбиваем на тонкие концентрические слои толщиной (рис. 6), частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси.

Рис. 6. Разбиение цилиндра

Пусть радиус некоторого слоя r, тогда масса частиц, заключенных в этом слое, будет равна

,

где h – высота цилиндра, – плотность вещества цилиндра.

Все частицы слоя будут находиться на расстоянии r от оси, следовательно, момент инерции этого слоя будет

.

Момент инерции всего цилиндра

.

Поскольку масса цилиндра , то получим, что момент инерции равен

.

(2)

Из (2) следует, что момент инерции сплошного однородного цилиндра зависит только от его массы и радиуса и не зависит от высоты. Поэтому формула (2) применима для расчета момента инерции сплошного однородного диска относительно оси симметрии.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела относительно любой параллельной оси можно определить, воспользовавшись теоремой Штейнера:

момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы телаm на квадрат расстояния а между осями

.

(3)

Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном движении является масса) и зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или находится в покое.

2. Метод трифилярного подвеса

В настоящей работе моменты инерции твердых тел определяются с помощью трифилярного подвеса, представляющего собой диск радиуса R, подвешенный горизонтально на трех нитях длиной L к неподвижному диску меньшего радиуса r (рис. 7).

Центры дисков расположены на одной вертикальной оси , вокруг которой нижний диск может совершать крутильные колебания. При колебаниях центр масс С диска радиуса R перемещается вдоль оси .

Рис. 7. Трифилярный подвес

При повороте нижнего диска на угол  вокруг оси его перемещение равно h (рис. 8), а приращение потенциальной энергии

,

где m – масса нижнего диска.

Рис. 8. Трифилярный подвес при повороте на угол φ0

В процессе крутильных колебаний, нижний диск совершает поступательное и вращательное движение, поэтому его полная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения, т.е.

,

где I – момент инерции диска относительно оси ,  – угловая скорость диска, – скорость центра масс диска.

При небольших смещениях диска по вертикали по сравнению с длиной нитей (при малых углах поворота), пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать, что диск совершает гармонические колебания и угол  его поворота изменяется со временем по гармоническому закону

,

где – амплитуда углового смещения,T – период колебаний диска.

Изменение потенциальной энергии диска при максимальном угле поворота равно максимальной кинетической энергии вращательного движения, которой обладает диск в момент прохождения положения равновесия, т.е.

,

где – угловая скорость диска в момент прохождения положения равновесия.

Из последнего равенства следует момент инерции диска

.

(4)

Поскольку угловая скорость диска меняется по гармоническому закону

,

то, максимальная угловая скорость равна

.

(5)

Высоту h, на которую поднимается диск, можно определить из геометрических соображений (рис. 8)

.

(6)

Но

, .

(7) (8)

С учетом соотношений (7), (8) равенство (6) можно записать в виде

.

При малых углах можно считать, что, а. Таким образом

.

(9)

Подставляя (5), (7), (9) в (4) и заменяя в формуле радиусы дисков на диаметры, получим

.

(10)

Формулу (10) можно применять не только для расчета момента инерции диска относительно оси , но и для расчета момента инерции диска с грузами. Тогда момент инерциигруза можно найти

,

(11)

1. Приборы и принадлежности

• Трифилярный подвес – 1 шт.

• Набор тел: цилиндр – 2 шт.

• Аналитические весы – 1 шт.

• Секундомер – 1 шт.

• Штангенциркуль – 1 шт.

4. Порядок выполнения работы:

В ходе лабораторной работы определяются моменты инерции:

• ненагруженного диска;

• диска с грузами;

• грузов.

1. Работа с ненагруженным диском

1. Измерить диаметр D нижнего диска, диаметр d верхнего диска и длину L нити. Масса диска указана на установке.

2. Повернуть диск на угол 5 – 6 градусов вокруг оси и измерить секундомером время N полных колебаний. Число колебаний N взять по указанию преподавателя.

3. Повторить измерения 5 раз и результаты записать в таблицу 7.

Таблица 7. Момент инерции ненагруженного диска

№	, кг	D, м	d, м	L, м	t, с	T, с	,	,
1
…
5
Сред.	–	–	–	–		–	–	–	–

2. Результаты эксперимента со сплошным цилиндром относительно оси, проходящей через центр масс тела

1. Измерить диаметр цилиндра и взвесить его массуна аналитических весах. Записать в таблицу 8 массу цилиндра и системыравную сумме масс цилиндра и диска.

2. Расположить цилиндр на диске так, чтобы его ось симметрии совпала с осью .

3. Повернуть диск на угол 5 – 6 градусов вокруг оси и измерить секундомером время N полных колебаний. Число колебаний N взять из первого задания.

4. Повторить измерения 5 раз и результаты записать в таблицу 8.

Таблица 8. Момент инерции диска с цилиндром

№	, м	, кг	, кг	t, с	T, с	, кгм2	, кгм2	, кгм2	1, %
1
…
5
Сред.	–	–	–		–	–	–	–	–

3. Проверка теоремы Штейнера

1. Записать в таблицу 9 массу системы равную сумме масс двух цилиндров и диска.

2. Расположить по краям симметрично относительно оси диска два цилиндра.

3. Измерить расстояние между центрами цилиндров.

4. Повернув диск с цилиндрами на 5 – 6 градусов относительно и измерить время N полных колебаний.

5. Повторить измерения 5 раз и результаты записать в таблицу 9.

Таблица 9. Момент инерции диска с двумя цилиндрами

№	, кг	s, м	t, с	T, с	, кгм2	, кгм2	2, %
1
…
5
Сред.	–	–		–	–	–

5. Обработка результатов измерения:

1. Определение момента инерции ненагруженного диска и ее погрешности

1. Определить среднее время N колебаний и рассчитать средний период колебаний T по формуле , гдеN – число колебаний.

2. По формуле (10) вычислить момент инерции ненагруженного диска. Внести результаты измерений и расчетов в таблицу 7.

3. Т.к. момент инерции I – косвенное измерение, а m, D, d, t, L – прямое, то для начала необходимо определить погрешности прямого измерения, а именно, случайную погрешность определения времени t и систематические погрешности измерений m, D, d, t, L. Для этого вычислить случайные погрешности i-го измерения, а затем их квадраты. Результаты вычислений занести в таблицу 10. Просуммировать каждый столбец с результатами в таблице 10 и записать сумму каждого столбца в строку .

Таблица 10. Оценка случайной величины t

№	t, c
1
…
5

		–	–

4. Найти среднеквадратичную ошибку среднего арифметического используя данные из таблицы 10 [см. разд. 2 формула (7)].

5. Найти доверительный интервал , задав коэффициент Стьюдентадля надежностии числа измеренийиз таблицы 29 [см. разд. 2 формула (9)].

6. Вычислить абсолютную погрешность момента инерции случайной величины по формуле

7. Определить систематическую погрешность m, D, d, t, L инструментов при измерении той или иной величины (половина цены деления шкалы инструмента).

8. Вычислить абсолютную погрешность момента инерции систематической величины по формуле

9. Вычислить абсолютную погрешность момента инерции по формуле

,

а также её относительную погрешность . Результат занести в таблицу 7.

10. Окончательный результат записать в виде

при ,.

2. Определение момента инерции сплошного цилиндра

1. Используя данные из таблицы 8 рассчитать среднее время N колебаний и определить период колебаний Т нагруженного диска по формуле .

2. По формуле (10) вычислить момент инерции системы, учитывая .

3. По формуле (11) определить момент инерции сплошного цилиндра, используя значениеиз предыдущего задания.

4. Рассчитать момент инерции сплошного цилиндра относительно оси вращения, проходящей через его центр инерции, по формуле

.

5. Сравнить значения момента инерции сплошного цилиндра, полученное экспериментально и теоретически и оценить, насколько теоретическое значение отличается от экспериментального значения по формуле

.

6. Внести результаты измерений и расчетов в таблицу 8.

3. Проверка теоремы Штейнера

1. Используя данные из таблицы 9 рассчитать среднее время N колебаний и определить период колебаний Т нагруженного диска по формуле .

2. По формуле (10) рассчитать момент инерции системы, учитывая .

3. Определить момент инерции одного цилиндра по формуле

,

где момент инерции диска взять из первого задания.

4. Теоретическое значение момента инерции цилиндра, определить по формуле

,

где диаметр и массуцилиндра взять из таблицы 8.

5. Сравнить значения момента инерции сплошного цилиндра, полученное экспериментально и теоретически с помощью теоремы Штейнера и оценить, насколько теоретическое значение отличается от экспериментального значения по формуле

.

6. Внести результаты измерений и расчетов в таблицу 9.

5. Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения? Что называется моментом инерции тела относительно оси вращения?

2. В чем заключается физический смысл момента инерции?

3. В чем суть теоремы Штейнера?

4. Чему равен момент инерции стержня, ось вращения у которого проходит через конец стержня, перпендикулярно ему?

5. Как теорема Штейнера проверяется экспериментально?

6. В какие моменты времени абсолютное значение угловой скорости диска будет максимальным?

7. Какой закон сохранения применяется при выводе формулы для определения момента инерции экспериментальным путем? Сформулируйте его.

8. Что называется моментом импульса?

9. Выведите формулы для расчета моментов инерции полого (не тонкостенного) и сплошного цилиндров относительно оси симметрии.