Метод наименьших квадратов

Если некоторая физическая величина зависит от другой величины, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x. В результате измерений получается ряд значений:

;

.

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости . Полученная кривая дает возможность судить о виде функции. Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Оптимальный подход к решению подобных задач возможен на основе применения метода наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут те, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значений функции от значений самой функцииy, т.е. является наименьшей.

На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда или.

Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением , то на графике строят зависимостьn от .

Для начала рассмотрим зависимость (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину– сумму квадратов отклонений экспериментальных точек от прямой

.

Величина всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат экспериментальные точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что дляk следует выбирать такое значение, при котором имеет минимум

или

.

(16)

Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k при этом равна

.

(17)

Теперь можно рассмотреть более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле .

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений найти наилучшие значенияa и b.

Составляя квадратичную форму , равную сумме квадратов отклонений точекот прямой

определяют значения a и b, при которых имеет минимум

,

.

Совместное решение этих уравнений дает

,	(18)
.	(19)

Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны

,	(20)
.	(21)

При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (16) – (21). Формы этих таблиц приведены в рассматриваемых ниже примерах.

Пример 1. Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях моментаM измерялось угловое ускорение ε некоторого тела. Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 2.

Таблица 2. Результаты эксперимента

n
1	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
2	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
3	4.59	1.45	21.0681	6.6555		0.006693
4	5.90	1.92	34.8100	11.3280		0.002401
5	7.45	2.56	55.5025	19.0720	0.073725	0.005435
	–	–	123.1886	41.1115	–	0.016436

Используя линейную зависимость

,

по формуле (16) определяем

,

откуда .

Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (17)

.

По формуле (14) имеем

.

Задавшись надежностью , по таблице коэффициентов Стьюдента для, находими определяем абсолютную ошибку

.

Относительная погрешность

.

Окончательно результат можно записать в виде:

при ,.

Пример 2. Вычислить коэффициент линейного расширения металлического стержня по методу наименьших квадратов. Длина металлического стержня от температуры зависит по линейному закону

.

Свободный член определяет первоначальную длинупри температуре 0° C, а угловой коэффициент– произведение коэффициента линейного расширенияна первоначальную длину.

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице 3.

Таблица 3.Результаты эксперимента

n		l, мм
1	23	150.005		2500		0.0001429	2.041
2	43	150.040		900	0	0.0003143	9.878
3	63	150.074		100	1500.74	0.0002286	5.224
4	83	150.109	10	100	1501.09	0.0002286	5.226
5	103	150.143	30	900	4504.29	0.0003143	9.878
6	123	150.178	50	2500	7508.90	0.0001429	2.041
	438	900.549	0	7000	12.09	–	34.286
	73	150.091	–	–	–	–	–

По формулам (18), (19) определяем

,

.

Отсюда:

.

Найдем ошибку в определении . Так как , то по формуле (14) имеем:

.

Пользуясь формулами (20), (21) имеем

,

.

Тогда

.

Задавшись надежностью , по таблице коэффициентов Стьюдента для , находим и определяем абсолютную ошибку

.

Тогда результат вычисления равен

.

Относительная погрешность

.

Окончательно результат можно записать в виде:

при , .