Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы линейной алгебры. Учебное пособие
.pdf
323
132
22
zyx
zyx
zух
4)
31
ГЛАВА 3 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
AB
a
ba
a
b
a
b
b
a
ba
a
b
с
b
a
а
a
b
a
а
a
0
a
0
BиA
a
А
В
3.1 Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов
Определение 1. Геометрическим вектором, или просто вектором,
называется направленный отрезок.
Вектор обозначается символом
данного вектора, либо
. Начало вектора называют точкой его приложения.
, где точки А и В - начало и конец
Определение 2. Вектор называется нулевым, если начало и конец его
совпадают.
Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину,
равную нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с
вещественным числом нуль.
Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они лежат
либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Определение 4. Три вектора называются компланарными, если они
лежат в одной плоскости.
Определение 5. Два вектора называются равными, если они
коллиннеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Все нулевые векторы считаются равными.
Определение 6. Суммой
идущий из начала вектора
в конец вектора
двух векторов
при условии, что вектор
и
называется вектор,
приложен к концу вектора
.
Определение 7. Разностью
вектор
, который в сумме с вектором
Определение 8. Произведением
называется вектор
, коллинеарный вектору
, и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора
и противоположное направлению вектора
Обозначим буквами
основания перпендикуляров, опущенных на
ось u из точек А и В соответственно.
В
А
u
вектора
дает вектор
вектора
и вектора
называется такой
.
на действительное число
, имеющий длину, равную
при
.
при
32
АВа
ВА
ВА
апр
u
сosаапр
u
a
a
k,j,i
kzjyixа
z,y,x
a
и,
a
cos,cos,cos
a
222
zyxa
222
zyx
x
cos
222
zyx
y
cos
222
zyx
z
cos
1coscoscos
222
a
0
a
0
a
a
1а0
21
aиа
kzjyixа
1111
kzjyixа
2222
,kzzjyyixxaa
21212121
kzjyixa
111
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
с a b
(2;3; 1), (5;9;7)аb
(2 5;3 9; 1 7) (7;12;6)с а b
45d p q
(4;5; 6), (8;2;1)pq
4 (4 4;5 4; 6 4) (16;20; 24)p
Определение 9. Проекцией вектора
величина
Любой вектор
базису
Числа
вектора
координат;
.
Длина вектора через его координаты имеет вид:
Направляющие косинусы вектора вычисляются по формулам:
направленного отрезка
, где - угол между вектором
может быть разложен по декартову прямоугольному
:
.
- называется декартовыми прямоугольными координатами
. Обозначим буквами
называются направляющими косинусами вектора
.
;
на ось u называется
оси u и обозначается
и осью u.
углы наклона вектора
;
,
.
к осям
откуда следует
Определение 10. Ортом вектора
удовлетворяющий условиям:
1)
коллинеарен вектору
2)
.
Координатами орта вектора являются направляющие косинуса.
Если два вектора
координат
Условие коллинеарности векторов имеет вид:
.
.
называется вектор
,
,
заданы в декартовых прямоугольных
,
, то:
.
Задача 1. Найти вектор
Решение.
Задача 2. Найти вектор
Решение.
Решение типовых примеров
, если
.
, если
33
.
.
5 (8 5;2 5;1 5) (40;10;5)q
4 5 (16 40;20 10; 24 5) (56;30; 19)d p q
cbaS
c3b2r,baq,bap
rqpS
( ) ( ) (2 3 ) 2 3a b c a b a b b c a b a b b c
,132
,12
,1
;
5
3
;
5
2
5
3
r
5
3
q
5
3
p
5
2
S
.5;6;7C,3;7;5B,0;7;1A
BCACa
k,j,i
a
(7 1;6 7;5 0) (6; 1;5)AC
(7 5;6 7;5 3) (2; 1;2).BC
(6 2; 1 1 ;5 2) (4; 0; 3).a AC BC
,525304a
22
4
cos ,
5
cos 0,
0
3 4 3
cos , ; 0; .
5 5 5
a
3с a b
( 4;13;1), (2;3;4)аb
79р т n
(7;1; 25), (21; 3; 8)mn
Тогда:
Задача 3. Разложить вектор
векторам:
Решение.
.
.
Приравняем коэффициенты справа и слева:
тогда
и
Задача 4. Даны точки
вектор
косинусы, орт вектора
по ортам
.
и найти его длину, направляющие
.
по трем некомпланарным
.
.
Разложить
Решение. Найдем координаты векторов:
Вектор
Тогда
1. Найти вектор
2. Найти вектор
следовательно,
Задания для решения в аудитории
, если
, если
.
.
34
cbaS
, , 4 5p a b q a b r b c
2;3;6 , 1;2;5 , 2;7;3 .A B C
BCACa
k,j,i
a
cosа b a b
( ; ; )a x y z
2 2 2
a x y z
abbа
3. Разложить вектор
4. Даны точки
по ортам
вектора
.
по трем некомпланарным векторам:
.
Разложить вектор
и найти его длину, направляющие косинусы, орт
3.2 Скалярное произведение векторов
Определение 11. Скалярным произведением ненулевых векторов a и b
называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между
ними:
Модулем вектора
(или длиной вектора a) называется корень
квадратный из суммы квадратов координат вектора:
Свойства скалярного произведения:
1)
- произведение векторов коммутативно.
2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
35
2
2
2
2
cos0
аа
а а а а а a
2
аа
аb
0ab
2
cos90 0
1; cos90 0
а b a b
i i i i j i j
i
j
k
i
1
0
0
j
0
1
0
k
0
0
1
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2
хх
=хх
i y j z k i y j z k
iiх i y j
12
х i z k
12
хy j i
12
12
y j y j
y j z k
12
хz k i
12
z k y j
12
1 2 1 2 1 2
z k z k
х х y y z z
cos
ab
ab
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos
x x y y z z
x y z x y z
3; 2; 6 ; 7;4;9ab
a
3) Если
, то их скалярное произведение равно нулю:
Причем, произведение одноименных орт равно единице, а разноименных орт
равно нулю (см. таблицу):
4) Скалярное произведение векторов, заданных координатами равно
сумме произведений одноименных координат:
5) Из формулы скалярного произведения векторов можно найти косинус
угла между двумя векторами:
В координатной форме:
Решение типовых примеров
Задача 1. Перпендикулярны ли два вектора
Найти угол между векторами
и b.
.
36
3 7 ( 2) 4 6 9 21 8 54 67 0
a
b
1;2; 2 ; 2; 1;2ab
a
2 2 2 2 2 2
1 2 2 ( 1) ( 2) 2 4 4
cos
3 3 9
1 2 ( 2) 2 ( 1) 2
44
arccos 2 ( arccos ) 2 ,
99
n n n Z
2p a b
q a b
4;1; 2 ; 1;2;3ab
cos
pq
pq
p
q
(2 4 1;2 1 2;2 ( 2) 3) (9;4; 1)p
(4 1;1 2; 2 3) (3; 1; 5)q
9 3 4 ( 1) ( 1) ( 5) 27 4 5 28pq
2 2 2
9 4 ( 1) 81 16 1 98p
2 2 2
3 ( 1) ( 5) 9 1 25 35q
28 28
cos
98 35 3430
28
arccos 2 ,
3430
n n Z
7; 3;2 ; 1;7;7ab
10;6;2 ; 2;3;1ab
4;9;5 ; 4; 9; 5ab
Решение.
и
не перпендикулярны.
Задача 2. Даны два вектора
векторами
Решение.
Тогда:
Задача 3. Найти угол между векторами
Решение. Зная, что
и b.
.
, следовательно, векторы
. Найти угол между
и
, определим координаты векторов
.
, если
и
:
Найдем скалярное произведение векторов по их координатам:
Их длины равны:
Тогда,
следовательно,
Задания для решения в аудитории
1. Перпендикулярны ли векторы:
а)
б)
в)
,
.
37
(7;1; 25), (21; 3; 8)аb
а
2
(2 ) ( 2 ) ( 2 )i j j j k k i k
2. Даны два вектора
. Найти угол между векторами
и b.
3. Даны вершины треугольника. Определить его внутренние углы, если
А=(2;5;4), В=(3;1;-5), С=(0;-7;1).
4. Раскрыть скобки в выражении
38
ГЛАВА 4 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
11
( ; )A x y
22
( ; )B x y
ABC
22
АВ АС ВС
2 1 2 1
;
х х у у
АС А В х х СВ А В у у
22
2 1 2 1
АВ х х у у
22
2 1 2 1
d х х у у
2 2 2 2
(5 2) ( 1 3) 3 ( 4) 9 16 25 5АВ
11
( ; )А х у
22
( ; )В х у
АМ
МВ
1
х
2
х
1
у
хАх
В
);(
11
ухА
С
0
у
х
);(
22
ухВ
2
у
4.1 Понятие уравнения линии. Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении
Линия – геометрическое место точек (совокупность точек), обладающих
определенным свойством.
Произвольная точка М линии называется текущей точкой линии, а ее
координаты - текущими координатами.
Уравнение, связывающее переменные х и у, называется уравнением
линии, если ему удовлетворяют координаты любой точки линии и только они.
Пусть в прямоугольной системе координат заданы две точки с
координатами
Подставим в формулу:
и
, но
Из
. Найдем расстояние между ними.
по теореме Пифагора имеем:
.
или
Значит, расстояние между двумя точками равно корню квадратному из
суммы квадратов разностей соответствующих координат.
Пример: Определить расстояние между двумя точками А (2; 3); В (5; -1).
Пусть даны точки
М, которая делит отрезок АВ так, что отношение
числу .
и
. Найти координаты третьей точки
равно положительному
39
11
11
АМ
АМ
МВ М В
1 1 1 1 1 2
Т.к. , и
АМ
А М х х М В х х
МВ
1
21
2
;
хх
х х х х
хх
2 1 1 2
; (1 )х х х х х х х
12
1
хх
х
12
1
уу
у
0
АМ
МВ
0
АМ
МВ
1
АС
СВ
12
2
хх
х
12
2
уу
у
0CByAx:
А
В
С
);(
22
ухВ
);(
11
ухА
);( ухМ
АМВ
1
А
1
В
1
х
0
у
х
);(
11
ухА
);(22ухВ
);( ухМ
2
х
х
1
М
Перегруппируем:
Отсюда:
Совершенно аналогично можно получить
Замечания:
Составим пропорцию:
то получим:
.
1)
Если
,
.
.
, то точка М делит отрезок АВ
внутренним образом.
2)
Если
, то точка М делит отрезок АВ
внешним образом.
3)
Пусть делящая точка является серединой отрезка
АВ. Следовательно,
. Тогда
и
, т. е. координаты
середины отрезка равны полусумме координат концов отрезка.
Для того чтобы найти точки пересечения двух линий, достаточно
совместно решить систему двух уравнений этих линий.
Прямая линия задается уравнением первой степени относительно x и y.
4.2 Прямая линия на плоскости
. (1)
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]