Электрические цепи и сигналы. Теория и практика. Учебное пособие

(

)

(

)

′

2

İ

A

В

C

A

C

İ

B

İ

A

C

B

A

İ

Z

CA

İ

Z

CA

А

Z

ВC

İ

Рис. 5.22. Фильтр составляющих прямой

и обратной последовательностей

и, подставив эти значения в выражение для IСА, найдём

I

−=

CA

21

++

2

ZaZIaZZI

+++

BCABBCAB

ZZZ

CABCAB

.

Из этого выражения следует, что ток ICA, проходящий через ам-

перметр, не зависит от составляющей обратной последовательности и пропорционален составляющей прямой последовательности, если выполнены условия

ZAB + a2ZBC = 0,

или

3/2 π

=−=

j

eZZaZ

BCBCAB

, (5.30)

и не зависит от составляющей прямой последовательности и пропорционален составляющей обратной последовательности, если выполнены условия

ZAB + aZBC = 0,

или

3/2 π

=−=

j

eZZaZ

ABABBC

.

Фильтр для выделения составляющей прямой последовательно-

сти логично получить при

Нетрудно показать, что равенство (5.30) будет выполняться при

′

=

RZBC=

;

AB

1

RR

;

jXRZ

+

=

.

3

RX

.

На рисунке 5.23, а показана схема, в которой реализуются ука-

занные условия.

51

′

2

3

A

B

R

2

İ

A

B

C

R

2

İ

1

R

3

Rx

=

L

А

а)

1

C

1

R

3

Rx

=

L

А

2

б)

Рис. 5.23. Фильтры для выделения составляющих прямой (а)

и обратной (б) последовательностей

Фильтр для выделения составляющей обратной последовательно-

сти получим, взяв

RZAB=

;

ВС

Равенство (5.30), как и ранее, будет выполняться при

′

=

1

RR

;

jXRZ

+

=

.

3

RX

.

На рисунке 5.23, б показана схема для выделения составляющей

обратной последовательности.

Как уже отмечалось, величина напряжения нулевой последова-

тельности равна одной трети суммы фазных напряжений, т.е.

0

1

( )

UUUU ++=

. (5.31)

CBA

Это соотношение используется при измерении напряжения нуле-

вой последовательности. Три однофазных трансформатора напряжения соединяются, как показано на рис. 5.24, причём первичные обмотки

52

′

′=′+′+′

A

B

C

N

&

U

&

U

A

&

U

A

&

U

B

C

&

U

&

U

B

C

V

&

U

V

Рис. 5.24. Измерение напряжения нулевой последовательности

соединяются звездой, а общая точка подсоединяется к нейтрали. Вторичные обмотки трансформаторов соединяются открытым треугольником, благодаря чему напряжение на зажимах треугольника пропорционально сумме вторичных фазных напряжений. Вольтметр, показанный на схеме, используется для измерений данного напряжения:

UV = UA + UB + UC ,

а при соответствующей градуировке его можно использовать для измерения напряжения нулевой последовательности: UV ≡ U0.

Напряжение нулевой последовательности можно также измерить

при помощи схемы, показанной на рис. 5.25. Три индуктивные катушки с равными сопротивлениями Z соединены звездой и подсоединены к трём фазам линии. Общая точка звезды подсоединена через вольтметр к нейтрали. Напряжение на вольтметре UV можно определить из следующих соотношений:

0=−−

UUU

;

AVA

Сложив эти уравнения и учтя, что

A

CB

получим

0=−−

UUU

3UUUU

=++

;

0

′

=

V

;

BVB

3UUUU

CBA

UUU

−

.

00

0=−−

UUU

0

.

CVC

,

53

′

3

A

B

İ

A

B

İ

б)

A

B

C

N

Z

&

U

Z

V

Z

&

U

V

&

U

C

B

A

Рис. 5.25. Измерение напряжения нулевой последовательности

Напряжение

U

определяется асимметрией фазных напряжений

0

источника питания линии. Эта система, как правило, симметрична. Поэтому показание вольтметра равно напряжению нулевой последовательности: UV = U0.

Аналогично (5.31) ток нулевой последовательности можно пред-

ставить в виде

1

( )

0

IIII ++=

. (5.32)

CBA

Поэтому для измерения токов нулевой последовательности необ-

ходимо использовать три трансформатора тока, вторичные обмотки которых соединяются параллельно (рис. 5.26, а).

Ф

A

B

В

C

A

B

C

А

C

А

а)

Рис. 5.26. Измерение токов нулевой последовательности

с помощью трёх трансформаторов тока (а)

или одного кольцевого трансформатора тока (б)

54

Через амперметр А, подсоединённый к концам трёх вторичных

I

обмоток, проходит ток, соответствующий сумме токов

&&&&

IIII

++=

,

CBA

и, следовательно, его можно отградуировать на показание тока нуле-

&

вой последовательности, т.е.

&

≡

I

.

0

Для этой же цепи часто используется один кольцевой трансфор-

матор, сердечник которого охватывает три провода (рис. 5.26, б). В этой схеме происходит суммирование магнитных потоков, создавае-

мых токами трёх фаз

&&&

III

,,

. Поэтому ЭДС, индуктируемая вторич-

CBA

ной обмоткой кольцевого трансформатора, пропорциональна результирующему магнитному потоку Ф, а показание амперметра, как и в схеме рис. 5.26, а, пропорционально току нулевой последовательности.

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКОВ

Суть теории четырёхполюсников (ЧП) заключается в том, что на

основании некоторых обобщённых их параметров находятся токи и напряжения на входе при известных токах и напряжениях на выходе, и наоборот. При этом токи и напряжения внутри заданной схемы не рассчитываются.

Соотношения между токами и напряжениями на входе и выходе

ЧП (рис. 6.1) могут быть записаны в виде шести групп уравнений:

1. Форма

2. Форма

3. Форма

4. Форма

5. Форма

А

Y

Z

B

G

:

&&&

;

IAUAU

+=

&&

+=

&&

+=

2122111

&&&

IAUAI

.

2222211

&&&

UYUYI

;

2121111

&&&

UYUYI

.

2221212

′

IZIZU

;

2121111

&&&

′

IZIZU

.

2221212

&&&

′

IBUBU

;

1121112

&&&

′

IBUBI

.

1221212

′

IGUGI

;

2121111

55

6. Форма

−

Н

:

&&

′

+=

′

IGUGU

+=

.

2221212

&&&

UHIHU

;

2121111

&&&

UHIHI

.

2221212

Коэффициенты каждой системы уравнений четырёхполюсника

могут быть выражены через коэффициенты любой другой системы (табл. 6.1).

&

′

I

&

′

I

1

&

I

1

2

&

I

2

&

U

1

Рис. 6.1. Положительные направления напряжений и токов

на входе и выходе четырёхполюсника

ЧП

6.1. Связь обобщённых параметров четырёхполюсника

Из формы

В форму

А

A A

Y

в различных формах

А

A

11

12

A

21

22

Y

A−

22

A

12

1

A

11

A

12

A

12

Y

Y−

1Y−

22

21

Y−

11

Y

21

Y

11

12

Y

21

22

Z

11

Z

21

1

Z

21

Z

22

Z

21

Z

&

U

2

Z

21

22

21

Z

12

Z

11

Z

H

−

H

11

H

21

H

22

H

21

H

21

H

11

H

21

1

H

21

1

11

12

11

H

11

56

−

Продолжение табл. 6.1

Из формы

А

Y

Z

H

В форму

Y

A

11

A

Z

21

1

A

21

A

12

A

H

22

1

A

22

A

21

A

22

A

21

A

22

A

21

A

22

В таблице 6.1 обозначено:

A

Y

Z

H

• для обратимого ЧП

YY =

;

2112

• для симметричного ЧП

AA =

;

2211

YY =

В последнем случае независимых коэффициентов только два (

и

A

;

Y

и

Y

;

Z

и

Z

;

12

11

12

11

H

12

Y

22

12

Y

21

Y

1

Y

11

Y

21

Y

11

ZZ =

2112

;

2211

и

11

Y

11

Y

12

Y

11

Y

11

;

H

12

).

Z

11

12

Z

21

AAAA −=

21122211

YYYY −=

21122211

ZZZZ −=

21122211

HHHH −=

21122211

=−= AAAA

21122211

HH =

2112

ZZ =

;

2211

22

Z

12

Z

22

Z

1

21

Z

22

;

1A

;

AA =

HH =

H

12

H

22

H

21

H

22

H

11

H

21

;

2112

.

2211

H

22

1

H

22

H

12

H

22

A

11

Анализ одиночных ЧП, а также их каскадное (цепочное) соедине-

ние производится в наиболее удобной форме уравнений – форма

А

.

Каскадное (цепочное) соединение нескольких ЧП целесообразно

заменить эквивалентным ЧП, коэффициенты которого определяются

57

по известным коэффициентам каскадно соединённых ЧП. Матрица коэффициентов

A

и отдельных ЧП (рис. 6.2):

A

эквивалентного ЧП равна произведению матриц

n

=

AA

э

∏

kk1

.

=

Следует иметь в виду, что матрицы, подлежащие перемножению,

записываются в том же порядке, в каком отдельные ЧП включены в схеме сложного (эквивалентного) ЧП.

Необходимо отметить, что параллельное соединение ЧП легко

заменяется эквивалентным, если уравнения составных ЧП записаны в форме

Y

:

n

=

YY

э

∏

kk1

,

=

а последовательное соединение – в форме Z (рис. 6.3):

n

=

ZZ

э

∏

kk1

.

=

Правила сложения матриц применимы лишь при равенстве вхо-

дящего и выходящего токов в каждой паре зажимов составных ЧП. Соединение четырёхполюсников, удовлетворяющее этому условию, называется регулярным.

При расчёте сложных электрических цепей, представленных

в виде ЧП, часто пользуются схемами замещения – Т-образной (соединение элементов звездой) и П-образной (соединение элементов треугольником) (рис. 6.4).

Между элементами Т- и П-образных схем замещения и парамет-

рами ЧП существует определённая связь (табл. 6.2).

Пассивный П-образный ЧП может быть преобразован в Т-образ-

ный (или наоборот) по правилу преобразования «треугольника» сопротивлений в эквивалентную «звезду».

Следует отметить, что Т-образная и П-образная схемы замещения

четырёхполюсника не всегда физически реализуемы. Это означает, что в схеме замещения ЧП параметры R, L и C должны быть положительными.

Если в какой-либо ветви схемы такое условие не выполняется,

то она считается физически нереализуемой.

58

&

I

1

&

U

1

A

1

A

&

I

2

н

U

&

I

1

&

U

2

A

&

I

2

&

э

U

2

Рис. 6.2. Каскадное соединение четырёхполюсников

&

I

1

&

U

1

Y

1

Y

n

&

I

2

&

U

2

&

I

1

&

U

1

&

I

2

Y

э

&

U

2

а)

&

I

1

Z

&

I

2

1

Z

2

&

U

2

Z

n

&

I

1

&

U

1

б)

Рис. 6.3. Параллельное (а) и последовательное (б)

соединения четырёхполюсников

&

Z

Т1

&

I

&

U

1

а) б)

Рис. 6.4. Схемы замещения четырёхполюсников:

&

Z

Т2

&

I

2

&

Z

Т0

&

U

2

а – Т-образная; б – П-образная

&

I

1

&

U

1

&

Z

П0

&

Z

П1

&

I

2

&

Z

э

U

2

&

I

2

&

Z

&

U

П2

2

59

β+α=γ

ЧП

6.2. Связь между Т- и П-образными схемами замещения четырёхполюсников

Коэффициент

Рис. 6.4, а

A

11

&

Z

T1

1

+

&

Z

T0

A

12

&&

++

ZZ

T2T1

&&

ZZ

+

T2T1

&

Z

T0

A

21

1

&

Z

T0

A

22

&

Z

T2

1

+

&

Z

T0

Рис. 6.4, б

&

Z

П

0

1

+

&

Z

T2

&

Z

0П

&&&

ZZZ

++

2П1ПП0

&&

ZZ

2ПП1

&

Z

П0

1

+

&

Z

П1

Однако данное утверждение не относится к четырёхполюсникам,

не содержащим реактивных элементов.

Помимо коэффициентов уравнений ЧП в различных формах широко используются характеристические параметры: постоянная распределения (передачи)

, действительная часть которой на-

j

зывается собственным затуханием ЧП, а мнимая часть – коэффициен-

&

том фазы, и характеристические сопротивления

Z

&

и

Z

с1

. Кроме то-

с2

го, часто применяются параметры холостого хода (хх) и короткого замыкания (кз), входные сопротивления ЧП со стороны входных за-

&

жимов (

Z

&

и

Z

x1

) и со стороны выходных зажимов (

к1

параметры связаны между собой соотношением

&

=

и

x2

&

Z

х2

&

Z

2к

&

Z

). Эти

к2

, которое

Z

&

Z

х1

&

Z

1к

свидетельствует о том, что в общем виде ЧП характеризуется тремя независимыми коэффициентами – параметрами, а симметричный ЧП –

&

двумя (например,

&

Z

и

Z

х1

).

к1

Входным сопротивлением ЧП называется отношение входного напряжения к входному току.

Связь между коэффициентами ЧП, параметрами хх и кз и характеристическими параметрами приведена в табл. 6.3. В этой же таблице через вышеназванные параметры даются выражения для расчёта вход-

ного сопротивления ЧП при произвольной нагрузке

60

&

Z

.

н