Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электрические цепи и сигналы. Теория и практика. Учебное пособие
.pdf
В силу того, что сумма трёх единичных векторов 1,
2
°
4π
− j
e
8π
− j
3
3
,
e
равна нулю, результирующая индукция принимает вид
3
tj
.
eВВω−=
m
(5.9)
Полученное выражение (5.9) показывает, что результирующий
вектор магнитного поля имеет постоянный модуль, равный 1,5Вm, и
равномерно вращается с угловой скоростью ω от оси фазы А по направлению к оси фазы В и т.д. или по ходу часовой стрелки, т.е. имеет
место вращающееся магнитное поле.
На рисунке 5.14, б показано положение результирующего вектора
для различных моментов времени.
Для изменения направления вращения поля достаточно поменять
местами токи в каких-нибудь двух катушках, например токи iВ и iC.
За один период переменного тока такое магнитное поле совершит
один оборот, а за 1 мин – 60 оборотов.
Известно устройство для получения кругового вращающегося
магнитного поля при помощи двух катушек, плоскости которых смещены в пространстве на угол 60° (заявка на изобретение № 2633114/07
от 16 июня 1978 г.).
При подведении к схеме рис. 5.15 трёхфазной системы напряже-
ний возникают токи i1 и i2, создающие магнитные поля, индукции
которых соответственно равны
ω= cos
m
1
2
π
tBB
;
cos
2
m
.
−ω= tВВ
3
+j
С
&
B
2
+1
&
B
А
i
1
Рис. 5.15. Получение вращающегося магнитного поля
при помощи двух катушек
60
1
i
2
B
41
Результирующий вектор индукции находится сложением векторов
(
)
2
2
2
(
)
B
B
1
6/
π−ω−ω
m
+=
jtjtj
eee
и
2
2
m
B
После простых преобразований получим
3
+=
3
eBB
m
2
π
−ω
B
tjtj
( )
2
π
−ω−
6/
π
j
3
6/π−ω=tj
.
(5.10)
.
eee
Это выражение показывает, что результирующий вектор магнит-
ной индукции вращается с угловой скоростью ω, причём значение ин-
дукции на оси неизменно равно
3
B
, т.е. получается круговое маг-
m
нитное вращающееся поле.
5.6. НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ В ТРЁХФАЗНОЙ ЦЕПИ
Если в трёх одинаковых фазах обмотки трёхфазного генератора
переменного тока индуктируются одинаковые несинусоидальные напряжения, например содержащие третью гармонику, то напряжение
фазы А можно представить в виде
.3sinsin
ψ+ω+ω= tUtUu
mmА
331ф
Напряжения во второй и третьей фазах получаются путём замены
в этом уравнении ωt соответственно на
2
π
sin ψ+ω+
sin ψ+ω+
−ω= tUtUu
3
4
π
−ω= tUtUu
3
2π
−ωt
mmВ
mmС
и
3
( )
3sin
( )
3sin
4π
−ωt
3
;
331ф
.
331ф
. Это дает:
Таким образом, в то время как основные гармоники смещены по
фазе друг относительно друга на 120°, высшие гармоники во всех трёх
направлениях совпадают по фазе. Поэтому в линейных напряжениях
высших гармоник не будет, и они будут синусоидальными (если,
конечно, фазные напряжения не содержат пятой или седьмой гармоники).
42
232
232
N
U
3фА
U
3фВ
U
3фС
I
3A
A
I
3B
B
I
C
3C
U
N
u
3A
z
A
u
3B
z
B
z
C
N'
u
3C
Рис. 5.16. Схема для третьей гармоники при соединении звездой
Если три одинаковые фазы нагрузки подключены к генератору по
схеме звезды, то на нагрузку будут действовать синусоидальные напряжения. Схема для третьей гармоники показана на рис. 5.16.
Здесь
)3sin(
ψ+ω==== tUUUUU
.
mCBAN
33ф3ф3ф3
При этом легко показать, что i3A = i3B = i3C =0.
Поэтому
u3A = u3B = u3C = 0.
Если нулевые точки генератора и нагрузки соединить между
собой, как это показано на рис. 5.9, то через линейные провода и нулевой провод будет циркулировать ток утроенной частоты. Он создаёт
в фазах нагрузки падение напряжения утроенной частоты и таким
образом делает несинусоидальным также напряжение на нагрузке.
5.7. МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ
ДЛЯ РАСЧЁТА НЕСИММЕТРИЧНЫХ ТРЁХФАЗНЫХ СИСТЕМ
Запишем действующие значения симметричной системы ЭДС:
&
&
;AAEE =
Обозначим
2π
−=j
3
&
;
eEE
BB
2
π
j
3
1
jea
+−==
,
4π
−=j
3
.
eEE
CC
тогда
4
π
j
2
1
3
π
j
2423
01;;1;
=++===−−==
aaaaeajea
.
43
Симметричную трёхфазную систему ЭДС можно записать в виде
&
E
;
A
2
&&
EaE
=
;
AB
EaE&&=
.
AC
Как видно из рис. 5.17, ЭДС в фазах проходит через максимум в
алфавитном порядке фаз (A, B, C, A, B, C, …). Такую систему называют симметричной системой прямой последовательности.
Симметричную систему обратной последовательности, в которой
ЭДС проходит через максимум в обратном алфавитном порядке фаз
(A, C, B, A, C, B, …), можно записать в виде
&
E
;
A
EaE&&=
;
AB
2
&&
EaE
=
.
AC
Симметричная система нулевой последовательности, в которой
все три ЭДС проходят через максимум амплитуды одновременно,
записывается в виде
&&&
EEE
==
.
CBA
Любую несимметричную трёхфазную систему ЭДС, напряжений
&
&
или токов, например
E
,
A
трёх симметричных трёхфазных систем: нулевой (
2
&
(
E
&
;
1
&
Ea
;
Ea
1
) и обратной (
1
&
E
,
E
, можно представить в виде суммы
B
C
&
&
E
&
E
;
2
2
&
Ea
&
;
Ea
2
) последовательности,
2
&
;
E
;
E
0
), прямой
0
0
которые называют симметричными составляющими данной несимметричной трёхфазной системы (рис. 5.18):
A
B
C
&
E
A
2π
3
2π
3
&&&&
++=
;
EEEE
210
2
0
EaE&&=
AB
2π
&&&&
++=
;
EaEaEE
(5.11)
21
2
&&&&
++=
.
EaEaEE
10
2
&
E
A
&
&
E
&
E
E
A
B
C
3
2π
EaE&&=
2π
AC
=
AB
3
2π
2
&&
EaE
3
а) б) в)
Рис. 5.17. Симметричные составляющие прямой (а), обратной (б)
и нулевой (в) последовательностей
44
3
2
&&
EaE
=
AC
2
&
Ea
&
E
A
&
E
C
&
E
B
&
E
A
&
3
E
0
&
E
0
&
E
B
&
E
C
&
Ea
1
&
Ea
B
&
E
A
&
3
E
1
&
E
C
2
&
Ea
&
Ea
C
&
3
E
2
1
B
&
E
A
&
E
2
Рис. 5.18. Разложение несимметричной системы ЭДС
на симметричные составляющие
Из уравнения (5.11) можно выразить
&
и
E
, если учесть, что
C
2
=++ aa
Для получения
&
E
следует сложить равенства (5.11) и разделить
0
&
Ea
2
&
Ea
1
&
&
E
,
E
0
01
;
4
13=a
;
aa =
2
&
и
E
через
1
2
.
2
&
Ea
2
&
&
E
,
E
A
полученную сумму на три.
Для получения
без умножения, умножить второе равенство на a и третье – на
&
E
следует, оставив первое равенство (5.11)
1
2
a
затем сложить три полученных равенства и разделить сумму на три.
Для получения
без умножения, умножить второе равенство на
затем сложить три полученных равенства и разделить сумму на три.
&
E
следует, оставив первое равенство (5.11)
2
2
a
и третье – на a,
1
0
3
1
1
3
1
2
3
&&&&
EEEE
++=
;)(
CBA
2
&&&&
EaEaEE
++=
2
;)(
(5.12)
CBA
&&&&
EaEaEE
++=
.)(
CBA
Получили формулы прямой, обратной и нулевой последователь-
ностей линейных и фазных напряжений сети, по которым представля-
45
B
,
ется возможным рассчитывать указанные симметричные составляю-
(
)
3
232
232
(
)
+1
щие на основании результатов измерения линейных и фазных напряжений обычными вольтметрами и создавать автоматические устройства непрерывного контроля указанных симметричных составляющих.
На рис. 5.19, а показан участок сети с указанием положительных
направлений линейных UCA, UAB, UВС и фазных UА, UВ, UС напряжений,
а на рис. 5.19, б представлена векторная диаграмма линейных напряжений.
Примем следующие обозначения:
UU =
;
ABAB
α=j
eUU
;
BCBC
β=j
.
eUU
CACA
Тогда на основании метода симметричных составляющих для об-
ратной последовательности напряжения UAB можем записать:
1
2
где
1
ja +−=
;
1
2
j
2
ja −−=
– фазный множитель.
++=
BCABAB
βα
j
eaUeUaUU
, (5.13)
CA
Перепишем уравнение (5.13):
1
3
2
−−+=
2
Можно показать, что модуль этого комплекса равен
2
( )
3
BCABAB
2
2233
UUUU
CABCBCAB
1
j
2
UUUUUU
CAABCABCABAB
( ) ( )
3
+−+
CA
2
sin3cos9
−β+β−++=
Сумма комплексов линейных напряжений получена из рассмот-
рения треугольника на рис. 5.20.
+j
α
–j
46
&
U
–1
б)
CA
&
U
BC
A
&
U
AB
B
C
N
&&
UU
CABC
U
C
a)
Рис. 5.19. Участок сети (а) и его векторная диаграмма (б)
U
U
A
B
eUjeUjUU
β
βα
j
α−β−β−α−α−α−
.
(5.14)
.sin3cossin3cos
&
U
AB
(
)
(
)
UCA
β
α
U
α – β
–UCA
π – β
π – α
ABC
π – (α – β)
U
BC
Рис. 5.20. Получение суммы комплексов линейных напряжений
Из треугольника по теореме косинусов имеем:
( )
=π−α cos
( )
=β−π cos
=β−α−π cos
cos
cos
cos
( )( ) ( )
Следовательно, можем записать:
По теореме синусов
( )( ) ( ) ( )
β−α−π
Или
( )
Таким образом, с учётом (15) имеем
2
2
2
2
α−=π−α sinsin
;
=
=
β−α
1cos1sin
222
−+
UUU
CABCAB
UU
CAAB
222
−+
UUU
ВCCАAB
UU
CAAB
222
−+
UUU
АВCАBС
UU
CABС
−=
sinsinsin
β−π
UUU
CABCAB
−=
sinsinsin α
β
−−=α−−=α
4
α−=
; (5.15)
β−=
; (5.16)
β−α−=
. (5.17)
2
.cos1sin
α−−=α
(5.18)
UUU
0
ABCAB
.
π−α
.
2
222
UUU
−+
CABCAB
.
(5.19)
22
UU
+
BCAB
Подставляя (5.15) – (5.18) в (5.14) и производя несложные преоб-
разования, с учётом (5.19) получим окончательное выражение для
47
обратной последовательности линейного напряжения в функции его
(
)
3
(
)
(
)
(
)
(
)
модулей:
2 CABCABBCABCABCABAB
1
6
2
( )
UUUUUUUUU −+−−++=
22222222
(5.20)
.43
Аналогично можно найти уравнение для напряжения прямой по-
следовательности.
Действительно,
1
1
Квадрат модуля этого комплекса равен
1
2223
( ) ( )
βα
j
++=
BCABAB
UUUUUU
ВCABCABCABAB
UUUU
CABCCАAB
j
2
eUaeaUUU
.
CA
sin3cos9
−α+α−++=
.)sin(3)cos(sin3cos
β−α−β−α−β−β−
(5.21)
Подставляя (5.15) – (5.18) в (5.21), получим уравнение для опре-
деления напряжения прямой последовательности:
1
1 CABCABBCABCABCABAB
6
2
( )
UUUUUUUUU −+−+++=
22222222
(5.22)
.43
Уравнения (5.20) и (5.22) являются основными для расчёта сим-
метричных составляющих прямой и обратной последовательности несимметричных линейных напряжений.
Так как соотношения между симметричными составляющими
фазных и линейных напряжений являются такими же, как и соотношения между действительными фазными и линейными напряжениями, то
симметричные составляющие прямой и обратной последовательности
фазных напряжений найдем из выражений
j
−
1
=
1
A
3
π
6
UeU
;
1
AB
2
A
j
1
6
UeUπ=
.
2
3
AB
Для получения нулевой последовательности фазных напряжений
рассмотрим векторную диаграмму рис. 5.21.
Запишем фазные напряжения в комплексной форме:
α+α= sincos jUU
AA
;
B
β+β= sincos jU
;
CC
γ+γ= sincos jUU
.
48
()()(
)
(
)
()(
)
(
)
θ
+j
&
U
C
–1
γ
+1
ψ
&
U
B
&
U
A
–j
Рис. 5.21. Получение нулевой последовательности фазных напряжений
Система линейных напряжений независимо от вида схемы опре-
деляется через фазные напряжения:
&&&
UUU
−=
;
BAAB
&&&
UUU
−=
;
CBBС
&&&
UUU
−=
.
ACCA
Причём
&&&
0=++
UUU
.
CABCAB
На основании метода симметричных составляющих утроенное
напряжение нулевой последовательности равно
&
0
CBA
jUjUjUU
( )
sincossincossincos3
=γ+γ+β+β+α+α=
UUUjUUU
CBACBA
Модуль последнего выражения после простых преобразований
будет выглядеть так:
0
2222
( ) ( )
cos29
UUUUUU
BCCBA
UUUU
ACCB
+β−α+++=
γ−α+γ−β+
(5.23)
.cos2cos2
С другой стороны, линейное напряжение UAB, выраженное через
фазные напряжения UА и UВ, можно записать в виде
&
Его модуль
sincossincos
=β+β−α+α=
BAAB
( )
222
UUUUU
BABAAB
jUjUU
UUjUU
BABA
β−α−+= cos2
.
(5.24)
.sinsincoscos
β−α+β−α=
.sinsinsincoscoscos
γ+β+α+γ+β+α=
49
Таким образом,
(
)
(
)
(
)
+
cos2
222
UUUUU −+=β−α
. (5.25)
ABBABA
Аналогично получим уравнения для линейных напряжений
UBC и U
:
CA
cos2
cos2
Подставляя уравнения (5.25) – (5.27) в (5.23), имеем
0
339
222
UUUUU −+=γ−β
; (5.26)
BCCBCB
222
UUUUU −+=γ−α
. (5.27)
CACACA
2222222
UUUUUUU −−−++=
CABCABCBA
.
И окончательно искомое напряжение нулевой последовательно-
сти фазных напряжений будет определяться формулой
1
( ) ( )
0
3
1
9
222222
UUUUUUU ++−++=
. (5.28)
CABCABCBA
В частном случае, когда система линейных напряжений симмет-
рична, т.е. UAB = UBC = UCA = Uл, из (5.28) получим
0
1
( )
3
222
−++=
CBA
2
UUUUU
. (5.29)
л
На рисунке 5.22 дана схема фильтра для выделения составляю-
щих прямой или обратной последовательности системы токов, составляющая нулевой последовательности которой равна нулю. Определим
условия, которым следует подчинить полные сопротивления ZAB и Z
BC
элементов этой цепи, причём полное сопротивление амперметра обозначим через ZСА. На основании законов Кирхгофа имеем
откуда
I
CA
0=++
ZIZIZI
III +=
;
CAAAB
−=
ZIZI
ZZZ
++
;
CACABCBCABAB
III +=
,
CACBC
BCCABA
.
CABCAB
Так как составляющая нулевой последовательности системы
линейных токов по условию равна нулю, то, выражая токи IС и IА
через составляющие прямой и обратной последовательностей I
получим
и I2,
1
IA = I1 + I2; IC = aI1 + a2I2
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]