Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электрические цепи и сигналы. Теория и практика. Учебное пособие
.pdf
1
ω−ω=ϕ
;
...
Udt
∫
Закон Ома в комплексной форме:
j
ω
tj
ω
&
.
eU
m
&&&&&&
UYIIZU
== ;
mmmm
или
&&&&&&
.; UYIIZU
==
m
mk
0;1=
∑
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
&
I
∑
=nk
&
0,1=
I
k
=nk
где k – номер ветви, подключённой к рассматриваемому узлу.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:
m
i
m
=
mi
EU
∑∑
==
j
11
m
&&
;
mj
i
m
&&
=
EU
,
i
j
∑∑
==
j
11
где m – число пассивных элементов контура; n – число источников
напряжения.
Комплексное сопротивление последовательной RLC-цепи
&
Комплексная проводимость параллельной RLC-цепи
&
Комплексная мощность цепи
∗
&
=ω−ω+=
)/1( YeCLjGY
=ω−ω−=
j
ϕ
;)/1( ZeCLjRZ
j
ϕ
./)/1(arctg
RCL
./)/1(arctg
GCL ω−ω=ϕ
ϕ
j
ϕ+ϕ==+==
sincos~jSSSejQPIUS
,
22
;)/1(
CLRZ ω−ω+=
22
;)/1(
CLGY ω−ω+=
где S – полная мощность; Р – активная мощность; Q – реактивная
мощность.
Уравнение баланса комплексных мощностей:
N
k
1
M
kk
∑ ∑∑
= ==
k
H
=+
1 1
k
2
&&&&&&
ZIIUIE
,
kkkk
где N – число идеальных источников напряжения; М – число идеальных источников тока; Н – число идеализированных пассивных элементов.
При расчёте электрических цепей часто возникает необходимость
преобразования схем этих цепей в более простые и удобные для расчё-
11
та. Приёмы преобразования схем одинаковы для цепей как постоянно-
I
го, так и переменного тока.
Последовательное соединение (рис. 2.1):
321эк
Параллельное соединение трёх сопротивлений (рис. 2.2):
&&
ZZ
==
экввх
++=
Смешанное соединение сопротивлений (рис. 2.3):
&&
ZZ
&&
ZZ
+=
1вх
&
Z
1
32
;
&&
ZZ
+
32
&
Z
2
&
U
&
I
=
1
&
Z
321
&&&&
;
IIII
321
&&&&
;
UUUU
===
321
&&&&
.
YYYY
++=
321вх
1
;
=
вх
&
Z
3
&&&&&
;...
ZZZZZ
++++=
n
&&&&&
....
UUUUU
++++=
n
&&&
ZZZ
321
;
&&&&&&
ZZZZZZ
++
313221
&
Z
3
&&
II
12
;
=
&&
ZZ
+
32
&
Z
2
&&
II
13
.
&&
ZZ
+
32
&
Z
n
&
U
1
&
U
2
Рис. 2.1. Последовательное соединение
&
U
3
&
U
&
U
n
İ
&
U
Ż1 Ż2 Ż3
I1
I2
3
Рис. 2.2. Параллельное соединение трёх сопротивлений
12
İ
İ
İ
İ
İ
İ
İ
312
İ
2
3
1
0
İ
İ
İ
Ż
1
1
&
U
&
U
1
&
U
2
2
Ż
2
&
U
3
3
Ż
3
Рис. 2.3. Смешанное соединение сопротивлений
Преобразование соединения треугольником в эквивалентную
звезду (рис. 2.4):
&
Z
=
1
&&
ZZ
3112
++
&
;
Z
=
2
&&&
ZZZ
312312
&&
ZZ
2312
++
&
;
Z
=
3
&&&
ZZZ
312312
&&
ZZ
3123
.
&&&
ZZZ
++
312312
В случае преобразования звезды в эквивалентный треугольник
сопротивления сторон последнего определяют из выражений
&&
ZZ
&&&
ZZZ
2112
21
++=
;
&
Z
3
&&&
ZZZ
&&
ZZ
32
++=
3223
;
&
Z
1
ZZZ
&&
ZZ
&&&
1331
13
++=
.
&
Z
2
При составлении уравнений индуктивно связанных электрических цепей необходимо учитывать способы включения индуктивностей.
1
1
Ż
31
3
3
2
Рис. 2.4. Преобразование соединения треугольником
12
Ż
12
Ż
23
в эквивалентную звезду
Ż
1
Ż
3
3
Ż
2
2
13
При согласном включении (рис. 2.5), где М – взаимная индуктив-
R
1
L
1
M
*
L
2
R
2
İ
U
*
R
L
1
M
*
R
2
İ
U
*
ность, комплексное сопротивление взаимной индукции
&
jXMjZ =ω=
, здесь
MM
MXMω=
.
Реактивное сопротивление двух индуктивно связанных катушек
при их согласном включении
XXXMLLX
22
++=ω+ω+ω=
.
При встречном включении (рис. 2.6)
21согл
−+=
21встр
−+ω++=
2121
MLLL
2
.
MLL
21
&&&
IMLLjIRRU
)2()(
;
Рис. 2.5. Согласное включение двух индуктивно связанных катушек
1
L
2
Рис. 2.6. Встречное включение
14
Реактивное сопротивление встречно включённых двух индуктив-
dt
dt
R
L
R
İ
L
İ
но связанных катушек
XXXX 2
−+=
.
встр
MLL
21
При расчёте разветвлённых цепей с взаимной индукцией используют методы уравнений Кирхгофа, контурных токов и наложения.
При расчёте в уравнениях, составленных по второму закону
Кирхгофа, к напряжению на индуктивном элементе
di
L
необходимо
добавить напряжение взаимной индукции
di
M±
. При этом напряже-
ние взаимной индукции имеет знак плюс, если направление обхода
индуктивного элемента и выбранное положительное направление тока
в индуктивно связанном элементе совпадают относительно одноимённых зажимов этих элементов.
Уравнения в комплексной форме трансформатора без ферромагнитного сердечника (воздушный трансформатор) (рис. 2.7) при согласованном включении катушек будут иметь вид:
• для первичной цепи
&&&&
;
IMjILjIRU
ω+ω+=
211111
• для вторичной цепи
&&&&&
.0
IZIMjILjIR
1
+ω+ω+=
2н2222
2
*
&
U
1
2
*
Zн = Rн + jX
1
2
н
а) б)
Рис. 2.7. Трансформатор без ферромагнитного сердечника:
а – для первичной цепи; б – для вторичной цепи
15
Ż
1
M
L
2
İ
L
İ
2
– M
1
– M
2
Ż
1
&
U
1
&
U
Ż
н
Рис. 2.8. Схема замещения трансформатора
без ферромагнитного сердечника
Схема замещения без приведения числа витков, в которой разности
ML −
и
1
ML −
имеют физический смысл только при одинаковом
2
числе витков первичной и вторичной обмоток, приведена на рис. 2.8.
Идеальный трансформатор (R1 = R2 = 0; L1 = L2 = ∞; М = ∞;
M
K ==
I
LL
), включённый между нагрузкой и источником элек-
21
троэнергии, изменяет сопротивление нагрузки Zн пропорционально
квадрату коэффициента трансформации n, т.е. осуществляет согласование сопротивлений:
&
&
I
U
U
2
1
&
&
I
1
2
&
n
==
;
Z
Контрольные вопросы
&
U
2
1
&
Zn
вх
1
==
&
I
1
.
2
1. В чём состоит идея расчёта электрической цепи комплексным
методом?
2. В чём заключается удобство комплексной формы расчёта
электрической цепи?
3. В каких формах может быть записано комплексное число?
4. Как переходят от мгновенных значений токов к комплексным
и наоборот?
5. Что называется комплексной амплитудой синусоидальной
функции? Написать выражения для комплексных амплитуд тока и напряжения.
6. Написать выражение для комплекса мгновенного значения
напряжения.
7. Написать выражения комплексного сопротивления и ком-
плексной проводимости для цепей с RL, RC, LC и RLC.
8. Чему равны модуль и аргумент комплексного сопротивления
в последовательной цепи с RL, RC, LC и RLC?
9. Чему равны модуль и аргумент комплексной проводимости
в параллельной цепи с RL, RC, LC, RLC?
16
10. Написать уравнение, выражающее второй закон Кирхгофа для
комплексных амплитуд (то же для первого закона Кирхгофа).
11. Как связаны сопротивления и проводимости одного и того же
участка?
12. Записать и пояснить выражение для мощности в комплексной
форме.
13. Чему равно эквивалентное комплексное сопротивление элек-
трической цепи с последовательным соединением комплексных сопротивлений
&&&
ZZZ
...,,,
? Как определить общее активное сопротивле-
n
21
ние, индуктивность и ёмкость такой цепи?
14. Чему равен модуль комплексного сопротивления цепи, со-
стоящей из двух последовательно соединённых комплексных сопротивлений
&
1
jXRZ +=
&
и
II
?
jXRZ +=
222
15. Чему равна эквивалентная комплексная проводимость элек-
трической цепи, представляющей собой параллельное соединение
комплексных проводимостей
&&&
YYY
...,,,
? Как определить общую
n
21
активную проводимость, индуктивность и ёмкость такой цепи?
16. Пояснить, как понимать эквивалентность участков электриче-
ских цепей с последовательным и параллельным соединением элементов.
17. Вывести условие эквивалентности (при определённой часто-
те) активно-ёмкостных цепей с последовательным и параллельным
соединением сопротивления и ёмкости.
18. В чём заключается условие эквивалентности генератора на-
пряжения и генератора тока?
19. Привести пример, в котором требуется преобразовать звезду в
треугольник или треугольник в звезду.
20. Каково условие эквивалентности электрических цепей, со-
единённых по способу «звезда» и «треугольник»? Пояснить, чем определяется направление ЭДС взаимной индукции.
21. В чём состоят особенности расчёта простых и сложных цепей
при наличии в цепях взаимной индукции?
22. Записать для согласного последовательного включения ин-
дуктивно связанных катушек уравнения по второму закону Кирхгофа.
23. Для встречного включения индуктивно связанных катушек
изобразить векторную диаграмму напряжений.
24. Сформулировать правило составления уравнений по второму
закону Кирхгофа для цепей с взаимной индукцией.
25. Идеальный трансформатор: расчётная схема и уравнения по
второму закону Кирхгофа для первичного и вторичного контуров.
26. Пояснить преобразование сопротивления нагрузки с помо-
щью согласующего трансформатора.
17
3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И РАСЧЁТА
СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В методе контурных токов в качестве неизвестных выступают так
называемые контурные токи, одинаковые для всех участков контура.
При решении задач рекомендуется записывать уравнения в канонической форме, например для трёхконтурной цепи
где
ii
ставляет собой сумму комплексных сопротивлений, входящих в контур, входит в уравнение со знаком «+»;
общее сопротивление двух рядом расположенных контуров, входит в
уравнение со знаком «+», если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению, при несовпадении направлений токов
общее сопротивление входит со знаком «–»;
турная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС, входящих в i-й контур).
После решения системы уравнений относительно контурных токов токи в ветвях определяются алгебраической суммой контурных
токов, протекающих через соответствующие ветви.
В методе узловых напряжений на первом этапе расчёта в качестве
неизвестных выступают потенциалы узловых точек схем (узловые напряжения).
При расчёте этим методом систему уравнений цепи следует представить в виде
где
ii
ij
в уравнение со знаком «–», если положительные направления узловых
напряжений выбраны от независимых узлов к базисному узлу,
в противном случае общая проводимость берётся со знаком «+»;
i
ных от деления ЭДС ветвей, подходящих к i-му узлу, на сопротивле-
18
&&&&
),,(
ZZZZ
– собственное сопротивление i-го контура, пред-
332211
&&&&
),,(
YYYY
– собственная проводимость i-го узла;
332211
&&&&
...),,,(
YYYY
&&&&
IIII
– общая проводимость узлов i и j;
231312
),,(
– узловой ток (алгебраическая сумма токов, получен-
332211
&&&&&&&
=++
;
EIZIZIZ
11331322121111
&&&&&&&
=++
;
EIZIZIZ
22332322221121
&&&&&&&
=++
,
EIZIZIZ
33332322321131
ij
=++
=++
=++
&&&&&&&
),,,,,(
ZZZZZZZ
–
323121231312
&&&&
),,(
EEEE
– кон-
i
&&&&&&&
;
IUYUYUY
11313212111
&&&&&&&
;
IUYUYUY
22323222121
&&&&&&&
,
IUYUYUY
33323232131
332211
&
Y
входит
ij
ния данных ветвей). В эту сумму со знаком «+» входят токи тех ветвей,
ЭДС которых направлены к i-му узлу.
После определения узловых напряжений токи в ветвях находят по
закону Ома для участка цепи.
Для нахождения тока в одной из ветвей цепи используют метод
эквивалентного генератора.
Искомый ток ветви определяется по закону Ома
если в данной ветви нет источника ЭДС, где
стого хода между точками a и b;
U
ab
I
=
хх
,
RR
+
ab
вх
U
– напряжение холо-
ххab
R
– входное сопротивление цепи
вхab
между точками a и b, и
=
ab
,
RR
+
вх
EU
±
ab
хх
I
если в данной ветви имеется источник ЭДС Е, направление которого совпадает («+») или не совпадает («–») с направлением тока от зажима «а»
к зажиму «b».
Для переменных токов расчётные уравнения в комплексной форме будут иметь вид
&
U
ab
&
I
=
хх
+
ab
вх
&
;
I
=
&&
ZZ
&&
EU
±
ab
хх
.
&&
ZZ
+
ab
вх
При расчёте цепи методом наложения (суперпозиции) истинный
ток в любой и каждой ветви цепи определяют как алгебраическую
сумму частичных токов, вызываемых в данной ветви действием каждого из источников в отдельности.
При определении токов в цепи от действия какого-либо одного
источника остальные источники должны быть исключены, но их внутренние сопротивления (проводимости) оставлены.
Метод наложения применим лишь для линейных цепей.
Контрольные вопросы
1. Что называется ветвью, узлом и контуром электрической цепи?
2. Сформулировать и записать первый и второй законы Кирхго-
фа в интегродифференциальной и комплексной формах.
3. В чём состоит сущность метода контурных токов?
4. Каков порядок определения независимых контуров в элек-
трической цепи?
5. Что понимается под контурным током контурной ЭДС?
6. Что представляют собой собственное и взаимное сопротивле-
ния контуров?
19
7. В чём состоит сущность метода узловых напряжений?
Y
X
8. Что понимается под узловым напряжением?
9. Что называется собственной и общей проводимостями?
10. Пояснить целесообразность применения методов эквивалент-
ного генератора и наложения для расчёта электрических цепей.
11. В чём сущность метода эквивалентного генератора?
12. В чём сущность метода наложения?
13. Сформулировать теорему об эквивалентном источнике ЭДС.
14. Каким образом определяют Uxx и Zвх при расчёте цепи мето-
дом эквивалентного генератора?
15. Пояснить на конкретном примере порядок определения Uхх и Zвх.
16. Частичные токи и их связь с искомыми значениями токов
в ветвях электрической цепи.
4. СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ
ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ ЦЕПЕЙ
Комплексная частотная характеристика (КЧХ) цепи – отношение
комплексных изображений отклика и воздействия:
&
jK
XY
&
где
Y
&
и
m
– комплексные амплитуда и действующие значения от-
клика (реакции) цепи;
вующие значения внешнего воздействия.
Зависимости модуля
ты ω называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной
(ФЧХ) характеристиками цепи.
Если отклик и внешнее воздействие рассматриваются на одних и
тех же зажимах цепи, КЧХ называется входной. К входным характеристикам цепи (рис. 4.1) относятся:
• комплексное входное сопротивление
• комплексная входная проводимость
20
&
&
Y
m
&
X
m
&
X
m
K
iu
ui
Y
Y
&
X
и
XY
j
X
&
– комплексные амплитуда и дейст-
)(ω
и аргумента
jZjK
11
)()(
jYjK
11
====ω)()(
&
U
1
)()(
=ω=ω
;
&
I
1
&
I
1
=ω=ω
.
&
U
1
j
ϕψ−ψ
XYXY
eKe
XY
)(ωϕ
КЧХ от часто-
XY
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]