Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Элементы молекулярной физики и термодинамики. Учебное пособие
.pdf
расширении изображается кривой на рис. 3.4. При уве-
()
личении объема на dV совершаемая газом работа равна
p · dV, т. е. определяется площадью полоски с основа-
нием dV, заштрихованной на рисунке. Поэтому полная
работа, совершаемая газом при расширении от объема
1
до
V
, определяется площадью, ограниченной осью
2
pfV=
и прямыми
Рис. 3.4
V
V
и
1
.
2
V
абсцисс, кривой
Как уже отмечалось, графически можно изобразить
только равновесные процессы – процессы, состоящие
из последовательности равновесных состояний.
Они протекают так, что изменение термодинамических параметров за конечный промежуток времени
бесконечно мало. Все реальные процессы неравновесны (они протекают с конечной скоростью), но в ряде
случаев неравновесностью реальных процессов можно
пренебречь (чем медленнее процесс протекает, тем он
ближе к равновесному). В дальнейшем рассматриваемые процессы будем считать равновесными.
3.5. Теплоемкость
Теплоемкостью какого-либо тела называется величина, равная количеству тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один
кельвин. Если сообщение телу количества тепла Q
61
повышает его температуру на dT, то теплоемкость по
()
()
()
()
определению равна
Q
=
δ
. (3.8)
dT
C
òåëà
Эта величина измеряется в джоулях на кельвин
Äæ Ê
.
Теплоемкость моля вещества, называемая молярной
теплоемкостью, обозначается прописной буквой С. Измеряется она в джоулях на моль-кельвин
Äæ ìîëü Ê⋅
.
Теплоемкость единицы массы вещества называется
удельной теплоемкостью. Она обозначается строчной
буквой с. Измеряется с в джоулях на килограмм-кель-
Äæ êã Ê⋅
вин
.
Между молярной и удельной теплоемкостями одного и того же вещества имеется соотношение
Ñ
ñ
. (3.9)
Ì
Величина теплоемкости зависит от условий, при
которых происходит нагревание тела. Наибольший интерес представляет теплоемкость для случаев, когда нагревание происходит при постоянном объеме или при
постоянном давлении. В первом случае теплоемкость
называется теплоемкостью при постоянном объеме
(обозначается
стоянном давлении
Ñ
), во втором – теплоемкостью при по-
V
C
.
p
Если нагревание одного моля происходит при постоянном объеме, то тело не совершает работы над
внешними телами и, следовательно, согласно первому
началу термодинамики (3.5), все тепло идет на приращение внутренней энергии моля:
δQdU
=
62
. (3.10)
m
δQCdT
22
mm
mm
VR
=+
Из (3.8)
=⋅
V
, из (3.1)
вив эти значения в (3.10), получим:
U
i
RT
m
2
. Подста-
dU
C
V
m
==
dT
ddTi
RT
i
R
=
. (3.11)
Если нагревание одного моля происходит при постоянном давлении, то первое начало термодинамики
можно записать в виде
CdTdUpdV
где
dV
– изменение объема одного моля.
m
⋅= +
, (3.12)
m
Из (3.12) следует:
dU
C
Согласно (3.11),
=+
p
dT
dU
m
dT
уравнение Клайперона – Менделеева
получим
pd
dT
m
. Подставив найденные значения
pdV
. (3.13)
dT
C
, продифференцировав
V
pV RT
m
по
,
в (3.13), будем иметь:
CCR
pV
. (3.14)
Выражение (3.14) называется уравнением Майера;
оно показывает, что
молярной газовой постоянной. Это объясняется тем,
что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, так как постоянство
давления обеспечивается увеличением объема газа. Использовав (3.11), выражение (3.14) можно записать
в виде
C
всегда больше
p
63
C
на величину
V
i
CR
CR
CR
C
+ 2
=
p
R
. (3.15)
2
При рассмотрении термодинамических процессов
важно знать характерное для каждого газа отношение
C
C
p
к
:
V
C
C
p
V
γ= =
2
+
i
. (3.16)
i
Из формул (3.11) и (3.15) следует, что молярные
теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение
молекулярно-кинетической теории справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней
свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от
температуры. Молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной
колебательной степенями свободы.
По закону равномерного распределения энергии по
7
степеням свободы для комнатных температур
V
.
2
Из качественной экспериментальной зависимости молярной теплоемкости водорода (рис. 3.5) следует, что
C
зависит от температуры: при низкой температуре
V
()
50
K
расчетных
3
=
V
2
7
R
) и при очень высокой –
2
, при комнатной –
5
V
2
V
(вместо
7
. Это
2
можно объяснить, предположив, что при низких температурах наблюдается только поступательное движение молекул, при комнатных – добавляется их вращение, а при высоких – к этим двум движениям
добавляются еще колебания молекул.
64
Рис. 3.5
Расхождение теории и эксперимента нетрудно объяснить. Дело в том, что при вычислении теплоемкости
надо учитывать квантование энергии вращения и колебаний молекул (возможны не любые вращательные
и колебательные энергии, а лишь определенный дискретный ряд значений энергий). Если энергия теплового движения недостаточна, например, для возбуждения колебаний, то эти колебания не вносят своего
вклада в теплоемкость (соответствующая степень свободы «замораживается» – к ней неприменим закон
равнораспределения энергии). Этим объясняется, что
теплоемкость моля двухатомного газа – водорода – при
комнатной температуре равна
5
R
2
вместо
7
R
2
. Анало-
гично можно объяснить уменьшение теплоемкости при
низкой температуре («замораживаются» вращательные
степени свободы) и увеличение теплоемкости при высокой температуре («возбуждаются» колебательные степени свободы).
65
3.6. Применение первого начала
δδ
UA
()
Qd
mV
Cd
термодинамики к изопроцессам
Среди равновесных процессов выделяются изопроцессы, при которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным.
Изохорный процесс (V = const). Диаграмма этого
процесса (изохора) в координатах p, V изображается
прямой, параллельной оси ординат (рис. 3.6), где процесс 1–2 есть изохорное нагревание, а 2–3 – изохорное
охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает
работы над внешними телами, т. е.
Из первого начала термодинамики
δ ApdV=⋅ = 0
.
Qd
=+
для изохорного процесса следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней
энергии:
δ
U=
.
Согласно (3.11),
dU CdT
.
Тогда для произвольной массы газа получим:
δQdU
== ⋅
m
M
T
V
. (3.17)
Рис. 3.6
66
Изобарный процесс (p = const). Диаграмма этого
()
21
TT
21
⋅−
()
TT
()
21
процесса (изобара) в координатах p, V изображается
прямой, параллельной оси V. При изобарном процессе
работа газа (3.7) при увеличении объема от
V
до
1
V
2
равна
V
2
ApdV pV V
==−
∫
V
1
(3.18)
и определяется площадью заштрихованного прямоугольника (рис. 3.7). Если использовать уравнение
Клайперона – Менделеева для выбранных нами двух
состояний, то
pV
m
RT pV
,
112
M
M
m
RT
,
откуда
VV
−=
21
mMR
p
Рис. 3.7
.
Тогда выражение (3.18) для работы изобарного рас-
ширения примет вид
mMR
A
=⋅ −
p
. (3.19)
67
Из этого выражения следует физический смысл малярной газовой постоянной R: если
TT
21
1−=K
, то для
1 моль R = A, т. е. R численно равна работе изобарного
расширения 1 моль идеального газа при нагревании его
на 1 К.
В изобарном процессе при сообщении газу массой
т количества теплоты
=
m
M
CdT
p
δQ
его внутренняя энергия возрастает на величину
m
M
CdT
V
.
dU
Изотермический процесс (Т = const). Он описывает-
ся законом Бойля – Мариотта:
pV const
. Диаграмма
этого процесса (изотерма) в координатах p, V представляет собой гиперболу (рис. 3.8).
р
V
Рис. 3.8
Исходя из выражений (3.7) и уравнения Клайперона – Менделеева, найдем работу изотермического
расширения газа:
V
2
ApdV
== ==
V
1
V
2
m
∫∫
M
V
1
RT
dV
V
68
M
m
V
RT
2
ln ln
VmM
1
RT
p
1
.
p
2
Так как при
T const
δδQA
=+
0
ного газа не изменяется:
внутренняя энергия идеаль-
dU
m
CdT
0
M
V
,
то из первого начала термодинамики следует, что
=
,
т.е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил:
QA
ln ln
m
M
RT
V
m
2
V
1
RT
M
p
1
. (3.20)
p
2
Следовательно, для того чтобы при расширении газа
температура не понижалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество
теплоты, эквивалентное работе расширения.
Адиабатический процесс. Политропный процесс. Процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой,
называется адиабатическим. Чтобы найти уравнение
адиабаты идеального газа, т. е. уравнение, связывающее
параметры состояния идеального газа при адиабатическом процессе, воспользуемся уравнением (3.5) первого
начала термодинамики, подставив в него выражения
(3.17) и (3.6):
В отсутствие теплообмена с внешней средой
Поэтому для адиабатического процесса (3.21) преобразуется к виду
δQ
pdV
m
CdTpdV
V
M
m
=−
CdT
M
69
. (3.21)
. (3.22)
V
δQ =
.
Продифференцировав уравнение состояния идеаль-
CC
pV
γγ
ного газа
pV
m
RT
M
, получим:
pdVVdp
m
M
RdT+=
. (3.23)
Исключив из (3.22) и (3.23) температуру Т, будем
иметь:
C
−
.
V
CC
pV
=γ
pdVVdp
+
pdV
R
=− =−
C
V
Разделив переменные и учитывая, что
найдем:
p
Интегрируя это уравнение в пределах от
dp
и соответственно от
V
1
=−γ
до
dV
.
V
p
до
1
V
, а затем, потенцируя,
2
p
придем к выражению
γ
=
V
1
, или
V
2
pV pV
=
11 22
.
p
2
p
1
Так как состояния 1 и 2 выбраны произвольно, то
можно записать
pVγ= const
. (3.24)
Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.
Для перехода к переменным T, V или р, Т исключим
из (3.24) с помощью уравнения Клайперона – Менделеева
,
2
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]