Физика. Элементы молекулярной физики и термодинамики. Учебное пособие

30. В чем причина необратимости реальных про-

цессов?

31. Когда нарушается второе начало термодинамики?

32. Что такое термодинамическая вероятность и как

она связана с энтропией?

33. Сформулируйте теорему Карно.

34. Какой процесс называется изоэнтропийным?

Нарисуйте цикл Карно в T-S -диаграмме.

35. Укажите принцип действия холодильной уста-

новки и теплового насоса.

36. Напишите уравнение Ван-дер-Ваальса и укажи-

те физический смысл поправок.

37. Нарисуйте в p-V-диаграмме изотермы Ван-дер-

Ваальса. Какая температура называется критической?

38. Приведите примеры фазовых переходов I и II

рода.

121

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

0Ê

10 ã

==

41

üÏ

;;

22

=−

Задача 1. В баллоне объемом

под давлением

1ìÏà

при температуре того как из баллона взято лоне понизилась до

290 Ê

. Определить давление гелия,

10 ë

находится гелий

30

. После

гелия, температура в бал-

оставшегося в баллоне.

Дано:

−

VÌð

==

10 10

ëì êã êìîë

====

Òò Ò

300101029

Êãêã;

23

−

; 00Ê.

2

6

0

1

Найти: р2.

Решение

Применим уравнение Клайперона-Менделеева

к конечному состоянию газа:

m

где

pV

2

m

– масса гелия в баллоне в конечном состоянии;

2



M

2

RT

, (1)

2

М – масса 1 кмоль гелия; R – молярная газовая постоянная.

mMRT

p

Из (1)



2

. (2)

V

à;

ствующую начальному состоянию, и массу т гелия, взятую из баллона:

перона – Менделеева:

Массу гелия

m

выразим через массу

2

mmm

21

m

найдем также из уравнения Клай-

1

MpV

m



1

122

. (3)

1

. (4)

RT

1

m

, соответ-

1

Подставляя в (3) массу

m

23

⋅=

22

;;

=⋅

ное выражение

m

в (2), будем иметь:

2

по (4), а затем получен-

1



MpV

1



p

2

RT



1

−

m

  

RT

MV

2

,

или

T

2

=− =⋅−

p

2

T

1

mMRT

p

1

V

290

2

300

36410

,

=⋅

Задача 2. В сосуде объемом

гелия и

4êã

водорода при температуре

2êã

10

−

10483110

6

55

Ïà.

23ì

⋅

,

−

2

10

находится смесь

Определить давление и молярную массу газа.

Дано:

VmÌ

òÌ Ò

3

===⋅

24410

ìêã; êã ìîëü

11

3

==

2210 300

êã;êã/ìîëü;

−

3

ÊÊ.

Найти: p, M.

Решение

Запишем уравнения Клайперона – Менделеева для

гелия и водорода:

m



M

1

RT

, (1)

1

pV

1

290

27Ñ

.

p

где

M

– парциальное давление гелия;

1

– молярная масса гелия; V – объем сосуда; Т –

1

температура газа; зовая постоянная;

m

– масса водорода;

2

По закону Дальтона

m

pV

2

R

831, Äæ ìîëü Ê

p

– парциальное давление воздуха;

2

M

2

M

RT

, (2)

2

m

– масса гелия;

1



– молярная га-

– молярная масса водорода.

2

123

12

mm

12

νν

mm

12

⋅

⋅⋅

27Ñ

Из (1) и (2) выразим

ppp=+

p

и

1

. (3)

, и подставим в (3):

2

mRT

1

p

=+=+

MV

mRT

2

1

MV



m

1



MmMRTV



2

1



2



. (4)



2

Определим молярную массу смеси газов по фор-

муле

где

M



и

1

– число молей гелия и водорода соответ-

2

=

+

, (5)

+

ственно:

m

ν

1

=

1

=

2

, (6)

M

1

m

2

. (7)

M

2

Подставив (6) и (7) в (5), найдем:

=

M

+

mMm

1

+

M

1

. (8)

2

 



410

4

+

−−

33

4

−

210

42

+

3

⋅

=

410

pÌ=



2

831300

,

⋅

 

−

3

2

310

=⋅

⋅

2

10

25 10

=⋅

−

3

êã ìîëü .

6

, Ïà,

Задача 3. Сосуд емкостью 2ë содержит азот при

температуре

и давлении

05, àòì

. Найти число

молекул в сосуде, число столкновений между всеми

124

молекулами за 1ñ, среднюю длину свободного пробега

VÒ

Ìd

⋅=

==

ìÍ

;;

<>

()

<>

λ

<>λ

молекул.

Дано:

−

==

2210 300

ëì Ê

ð

==⋅

,, ;

05 5065 10

àò

кг кмоль;

28 3

33

4

,,11010⋅

2

ì

−

ì.

Найти:

nz,, .

λ

Решение

Найдем число молекул в сосуде, исходя из уравне-

ния Клайперона – Менделеева:

pV

m

M

RT

.

В газе массой т содержится п молекул газа, так что

mnm

, где

0

m

– масса одной молекулы. В 1 кмоль

0

вещества содержится число молекул, равное числу Авогадро

NA=⋅

60110

, кмоль

26 1

−

. Поэтому

MmN

.

A0

С учетом этого

pV

n

N

RT n

A

 ;

pV

RT

N

. (1)

A

Число столкновений каждой молекулы с остальны-

ми за 1c:

<>=

z

v

,

где

<>=v

RT

– средняя арифметическая скорость.

m8π

Средняя длина свободного пробега молекул газа

определяется уравнением

125

=⋅

π

22

dp

<>=λ

π12

2

dn

,

0

где d – эффективный диаметр молекулы;

n

– число молекул в единице объема.

0

Исходя из (1)

k

==⋅

где

N

R

n

0

13810

, Äæ Ê

A

nVpN

  

RT

−

23

p

A

kT

,

– постоянная Больцмана.

Поэтому для числа столкновений каждой молекулы

за 1c получим:

RTMp

8

<>

zd

2

π

. (2)

kT

Общее число столкновений за 1c равно:

1

znzd

=<>= ⋅

2

π

2

RTMpV

8

2

π

2

kT

. (3)

Длина свободного пробега:

<>=λ

kT

. (4)

2

π

Производим вычисления по формулам (1), (3) и (4):

5065 10 210602 10

,,

n =

z =⋅ ⋅⋅

43 26

⋅⋅⋅⋅ ⋅

83110300

,

2

3143110

2

5065 10 210

,

×

13810910

,

−

3

⋅⋅

8831 10 300

⋅⋅⋅

−

,,

28

2464

⋅⋅⋅

220

⋅⋅⋅

−

−−

3

=⋅

30410

⋅

31 1

22

3

−

24510

, молекул

=⋅

,

31428

,

, ñ;

×

;

126

−

ìÊ,;

sr

Vr

23

⋅

−

2204

, ì

=⋅

19210

−

7

.

<>=

λ

,

13810300

,, ,

⋅⋅⋅⋅ ⋅

2314 31 10 5065 10

Задача 4. Для получения хорошего вакуума в стеклянном сосуде необходимо прогревать стенки сосуда при откачке с целью удалить адсорбированный газ. Вычислить, насколько может повыситься давление в сферическом сосуде радиусом

r  10 ñì

, если адсорбированные

молекулы перейдут со стенок в сосуд. Площадь попереч-

15 2

.

ñì

, слой

ного сечения молекулы считать равной мономолекулярный. Температура

t300C

Дано:

−−

rs Ò== == =

10 01 10 10 573

ñì ì; ñì

15 2212

.

Найти: р.

Решение

Давление р газа в сосуде связано с числом молекул п в единице объема этого сосуда соотношением

где N – общее число молекул в объеме V. Так как эти N молекул образуют на стенке сосуда мономолекуляр-

ный слой, то

где s – площадь одной молекулы;

pnkT

 

N

2

4=π

1

=

– поверхность сосуда; (3)

4

3

π

– объем сосуда. (4)

3

NkT

, (1)

V

s

1



, (2)

s

Подставляя (2), (3), (4) в (1), получим:

127

−

V  const

CC

pp



CR

),

52

V  const

Vp

⋅=

52

V  const

CT=⋅

3313810573

kT

p

==

sR

,

⋅⋅ ⋅

10 01

23

24

, Íì

−

21

,

⋅

=

2

.

Задача 5. На сколько теплоемкость гремучего газа больше теплоемкости водяных паров, получившихся при его сгорании? Задачу решать для двух случаев:

1)

; 2)

p  const

.

Дано: гремучий газ.

Найти:

CC

VV

;

, где теплоемкости с одним

'''' ''

штрихом относятся к гремучему газу, с двумя штрихами – к водяным парам.

Решение

Из уравнения

2H +O 2H O



22 2

видно, что из 3 кмоль

двухатомных газов после реакции получаются 2 кмоль

5

'

''

p

V

 2

 3

8 2

2

. По-

и

трехатомного газа. Поэтому до сгорания

'

p

 3

7

. После сгорания

2

''

V

 2

6

и

2

этому:

'''

1

CC R

−= =⋅

VV

'''

2

ÑC R

−= =⋅

pp

3

12 410

2

5

20 810

2

3

Äæ ãðàä;

3

Äæ ãðà

ää.

Задача 6. 2 л азота находятся под давлением Какое количество тепла надо сообщить азоту, чтобы:

1) при

p  const

объем увеличить вдвое; 2)

давление увеличить вдвое?

−

==

2210 10

Дано:

ëì Íì;

Найти: Q при

p  const

33

Решение

1. При постоянном давлении имеем:

; Q при

128

.

m

M

10

.

p

Íì

∆

(1).

.

Но

11

22

RT

∆∆

pV

CT=⋅

11

22

RT

∆∆

Vp

110

23

⋅

ì

210

33

⋅

ì

23

33





 

11

14

или

чим

pV



M

m

T

∆∆=

M

QC

=

m

RT

pT

⋅

p

R

pV

и

. Подставив этот результат в (1), полу-

R

∆

=



700

m

M

Äæ

RT

.

2. При постоянном объеме имеем

Но

или

=

pV



m

M

Vp

V

m

RT

M

T

∆∆=

⋅

∆

R

=

и

500

pV

⋅

R

m

RT



M

. Подставив в (2), получим:

Äæ

.

Задача 7. Необходимо сжать

объема

−

. Как выгоднее его сжимать: адиаба-

тически или изотермически?

V

Дано:

Найти:

110=⋅−ì; V

1

А

àä.

.

А

èç.

2

, откуда

210=⋅−ì

pV

⋅= ⋅

m

M

m

V

M

⋅=

−

m

M

воздуха до

.

∆

(2).

,

Работа при адиабатическом сжатии

γ= =

где

Работа при изотермическом сжатии

C

Решение

−

γ



1

RT

129







−

1







ln

À

p

,

V

mMRT V

=

àä.

γ

.

A

èç.

−

m

M

1

 

V

,



2

.

1

Отсюда

14

227C

;Ä

TT

12

1

γ

 

−

1

À





àä.

=

èç.

()

γ

−







V

1





V





2

ln

1







1





V

2

V

1

−





=

()

14 1

,

 

210



−

10

⋅

ln

2

−

04

,

 

3



210

⋅

−

10

  



,

=

3

2

,

т.е. изотермически сжать выгоднее.

Задача 8. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя

. Определить термический к. п.д. цикла и температуру охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу

Дано:

ÒQÀ

11

350 Äæ



227 50010 350   

ÑÊ Äæ

.

3

æ;

.

Найти:

h ,Ò

.

2

Решение

Термический к. п.д. выражается формулой

À

η=

Q

,

1

где А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины;

Q

– теплота, полученная от нагревателя.

1

350

η= =

1000

035,

.

Зная к. п. д., определим температуру охладителя:

откуда:

TT21500 1035 325=−

()

η=

=−

−

,

T

1

()

130

=η , K

.