Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика прочности. Пособие к практическим занятиям и домашним работам. Учебное пособие
.pdf
Формулировка задачи практического занятия.
Определите, при какой ориентировке оси растяжения монокристалла свинца различие в напряжениях течения в системе легкого скольжения и в остальных наибольшее. Каково это
различие?
Решение задачи.
Из закона Шмида – Боаса следует, что если вектор, вдоль
которого действует внешняя сила, перпендикулярен плоскости скольжения дислокации либо перпендикулярен ее вектору
Бюргерса, то сила, действующая на дислокацию, равна нулю
(так как равен нулю один из косинусов). Максимум произведения косинусов будет в том случае, когда оба эти косинуса
равны 45°. Тогда первая часть задачи сводится к нахождению
индексов направления действия внешней силы, составляющего одновременно с вектором Бюргерса и плоскостью скольжения дислокации 45°, т.е. нахождению индексов биссектрисы
между указанными геометрическими элементами.
а) б) в)
Рис. 3.1. Угол между векторами А и B при их равной длине
(а), различной длине (б) и соположении векторов А и B с их
единичными векторами A
между ними (в)
с построением биссектрисы
1 и B1
Из элементарной геометрии и аналитической геометрии известно, что два вектора всегда лежат в одной плоскости и результат их сложения (суммарный вектор) также лежит в этой
плоскости. Если векторы заданы их индексами и длины этих
векторов равны, то суммарный вектор – и есть биссектриса
угла между ними (рис. 3.1). Если длины векторов не равны,
21
суммарный вектор – не есть биссектриса. Однако любой вектор может быть описан его единичным вектором (когда каждое из чисел, описывающее его проекцию на координатные
оси x, y, z, разделено на модуль, т.е. длину самого вектора), и
в этом случае длины любых единичных векторов равны 1, а их
суммирование дает искомую биссектрису.
Когда с помощью такого приема индексы биссектрисы найдены, по формуле Шмида – Боаса могут быть определены приведенные касательные напряжения для всех возможных в
этом материале дислокаций (синонимом к слову дислокация в
данном контексте является словосочетание «система скольжения») и проанализировано их различие.
Системы скольжения дислокаций задаются индексами
векторов плоскостей скольжения и направлений скольжения
(векторов Бюргерса); в кристаллах, состоящих из атомов одного сорта (т.е. не химических соединений и не интерметаллидов
в частности), плоскости и векторы скольжения есть плоскости и векторы с максимальной плотностью укладки атомов
в них. Для ГЦК-решетки тип векторов Бюргерса – <1; 1; 0>,
тип плоскостей скольжения – {1; 1; 1}. При написании индексов системы скольжения необходимо проверить, чтобы вектор
Бюргерса принадлежал выбранной плоскости: этому соответствует равенство нулю суммы попарных произведений индексов плоскости на индексы вектора Бюргерса. (Это требование
равносильно требованию перпендикулярности вектора Бюргерса и нормали к анализируемой плоскости.) Включая все
перестановки чисел внутри скобок и минусов перед ними можно выписать 12 разных систем скольжения для ГЦК-решетки,
которой обладает и свинец. При этом варианты векторов, в
которых есть два или три минуса перед числами, домножаются на –1, чтобы число минусов около индексов вектора было
не более одного (этим самым исключается анализ вариантов
с противоположно направленными векторами). Примеры
систем скольжения дислокаций в ГЦК-решетки приведены
ниже:
1) а/2 [1; 1; 0] (–1; 1; 1);
2) а/2 [1; –1; 0] (1 ;1; 1);
3) а/2 [1; 0; 1] (–1; 1; 1);
4) а/2 [1; 0; –1] (1 ;1; 1);
22
5) а/2 [0; 1; –1] (1; 1; 1);
2
2
11
;
23
−
11
23
+
11
;
23
−
11
23
+
222222
111222
abcabc
++
6) ...
и т.д. – всего 12 вариантов.
Дальнейшая логика решения задачи следующая. Пусть в
системе скольжения № 3 достигнуто требуемое критическое
напряжение сдвига. Тогда следует найти, как расположена
ось приложения внешней нагрузки, чтобы эта величина была
максимально возможной, а после этого рассчитать, какие напряжения при таком расположении оси внешней нагрузки
возникнут во всех остальных системах скольжения.
А. Модули векторов [1; 0; 1] и (–1; 1; 1) равны соответствен-
1
но 2 и 3, тогда единичные векторы будут иметь вид [
;
1
0;
] и (
сектрисы [
1
;
−
3
1
1
;
3
). Их суммирование даст индексы бис-
3
1
;
] – это и есть направление
3
действия внешней силы.
Б. По условию задачи кристалл свинца деформируется растяжением; это нормальное (в противоположность касательному) приложение нагрузки. Но это означает, что индексы
плоскости, к которой приложено это внешнее напряжение,
совпадают с индексами направления, вдоль которого оно действует, поэтому индексами плоскости действия внешнего на-
пряжения будут (
).
1
;
3
В. Вычислим «внутреннее» напряжение в системе скольжения № 3 (т.е. приведенное касательное напряжение в этой
системе) по формуле Шмида – Боаса. Косинусы между двумя
векторами A (a
; b1; c1) и B (a2; b2; c2) вычисляются по формуле
1
∧
cos( ) .
AB
aa bb cc
=
1 2 12 12
(3.2)
++ ++
Для нашего примера по формулам (3.1) и (3.2)
23
( )
τ=τ − − + ×
=τ×
() cos 1;1;1 1213;13;1213
cos1;0;1 1213;13;1213
(1) 1 1 (1213) (13) (1213)
=τ×
22 32 22
( )
τ⋅
τ =τ α β= =τ
10 0
22 3 2
( ) cos( ) cos( ) 2.
2223
( )
×=
=τ×
cos1;1;11213;13;1213
cos1;0;11213;13;1213
(1)1213 (1)13 (1)1213
1
S
× − +=
( )
0
− ++× − + + +
(1) (1 2 1 3 ) 0 (1 3) (1) (1 2 1 3 )
×
2 22 2 2
1 0 1 (1213) (13)
++× − +
−++++
1213131213
0
−++
12131213 33 22
× =τ×
Произведя сокращения получаем
( )
0
∧
( )
−⋅ − +⋅ +⋅ +
( 1) (1 2 1 3 ) (1) (1 3 ) (1) (1 2 1 3)
222 2 2 2
⋅−+⋅ +⋅+
∧
32
++
(1213)
0
.
2
=
Проведя анализ всех систем скольжения, можно убедиться,
что 1/2 – это максимально возможный фактор Шмида.
Г. Для примера вычислим приведенное касательное напряжение в системе № 4, возникающее от действия силы τ
ранее найденного направления биссектрисы. Обозначим его τ
24
τ − +⋅
τ= ×
()
S
4
( )
⋅ − +⋅ +⋅ +
0
( )
0
22
−− +
( )
23
( ) ( ) ( )
23
вдоль
0
:
4
( ) ( ) ( )
⋅−+⋅ +−⋅+
×=
=τ=
1213131213 12131213
(1)1213 (0)13 (1)1213
22
−+++ ⋅ −−−
( ) ( )
0
+−
2213 23
( )( )
=τ =τ−
00
Для получения ответа на вопрос задачи необходимо полученное значение τ4 разделить на τ
По этой схеме рассчитываются приведенные касательные
напряжения для всех остальных систем скольжения и производится окончательное сравнение полученных результатов.
Формулировка домашней работы.
Определите, при какой ориентировке оси растяжения монокристалла (указывается любой металл с ОЦК- или с ГЦКрешеткой) различие напряжений для скольжения дислокации
в плоскости (указывается конкретная плоскость скольжения; вектор Бюргерса необходимо подобрать самому) и во
всех остальных плоскостях из семейства (для металла с ГЦКрешеткой указывается конкретное семейство скольжения дислокаций; для металла с ОЦК-решеткой этого не требуется –
семейство скольжения единственное) будет максимальным и
минимальным. Укажите эти системы скольжения и значения
(числа) различий.
Указания по выполнению домашней работы.
Анализ систем скольжения дислокаций в разных семействах, наблюдаемых в металлах с ОЦК-решеткой, приведен
далее, в работе № 5.
2223
2223
( 0, 469).
= (τ1)S.
max
25
Практическое занятие 4
АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ДЕФЕКТОВ
УПАКОВКИ ПОД НАГРУЗКОЙ (АНАЛИЗ
РАСЩЕПЛЕНИЯ ДИСЛОКАЦИЙ)
Основным элементом строения атомной структуры сплавов
с ГЦК-решеткой, определяющим их механическое поведение,
являются дефекты упаковки (или расщепленные дислокации). В чистых металлах с ОЦК-решеткой расщепления дислокаций не наблюдают. Но дефекты упаковки наблюдали в
сплаве Mo + 30% Re, имеющем объемно-центрированную кристаллическую решетку. В материалах с ГПУ-решеткой наблюдали образование дефектов упаковки в тройных стыках зерен.
По своему строению дефект упаковки (ДУ) – есть часть плоскости в кристаллической решетке, в которой атомы уложены
так же, как и в остальных плоскостях такого же типа этой решетки, но эта плоскость «занимает не свое место» при последовательной укладке таких плоскостей.
Типичный ДУ можно представить себе лентой одноатомной
толщины и бесконечной длины (ДУ может закончиться только на другом дефекте решетки, чаще всего – на границе зерна)
и шириной от нескольких ангстрем до нескольких десятков
ангстрем. Если ширина ДУ очень большая, а толщина – несколько атомных слоев, то такой дефект – есть зародыш новой
фазы; его размеры уже сопоставимы с размером зерна.
ДУ – это плоскости с наиболее плотной укладкой атомов, но
одновременно и плоскости скольжения полных дислокаций
в ГЦК-решетке. Из этого сформировался тезис: «Полные деформации расщепляются, превращаясь в дефекты упаковки,
или, что то же самое, в расщепленные дислокации». Однако
одновременно в металле практически не наблюдали и полные,
и расщепленные дислокации. Отсюда следует, что в металле
могут существовать либо полные, либо только расщепленные
дислокации. Существование либо тех, либо других есть природное свойство того или иного металла, а в сплавах – определяется их химическим составом.
ДУ под воздействием внешних напряжений ведут себя во
многом подобно полным дислокациям: они могут скользить,
порождая пластическую деформацию (сдвиг), испытывать
26
поперечное скольжение (но по более сложному механизму,
12
ДУ
ДУ
,
2
Gb b
r =
πγ
{ } { } { }
1;1;1 1;1;0 1;1;1 2;1;1 1;1;1 2;1;1 .
2 66
a aa
→+
чем полные) дислокации, размножаться, аннигилировать и
т.п. Но некоторые возможности, имеющиеся у полных дислокаций, для них невозможны; так, например, ДУ не могут
перемещаться в кристаллической решетке механизмом переползания.
Формальными характеристиками, описывающими ДУ, являются их ширина (rДУ) и энергия (γДУ) [1, 2]. Эти два показателя связаны друг с другом:
(4.1)
где G – модуль сдвига матрицы; b
и b2 – векторы Бюргерса
1
дислокаций, описываемые далее.
Свойства ДУ во многом определяются их кристаллографией. Поскольку ДУ представляют из себя полоску одноатомной
толщины, то боковые края этой полоски – есть также дислокации, но частичные. И тогда говорят, что ДУ ограничен частичными дислокациями. Эти дислокации обозначаются как
и b2, им соответствуют свои векторы в кристаллической ре-
b
1
шетке, взаимодействие и превращения этих дислокаций, как
и полных, может быть описано реакциями с векторами.
Так, образование частичных дислокаций из полных может
быть проиллюстрировано схемой рис. 4.1 и описано реакцией:
b0 → b1 + b2. Частичные дислокации лежат в той же плоско-
сти, что и полная дислокация, т.е. в плоскости типа {1; 1; 1}.
Тип вектора Бюргерса частичной дислокации – <1; 1; 2>. И
тогда уравнение реакции образования ДУ есть
(4.2)
Векторы Бюргерса частичных дислокаций b
и b2 равны по
1
модулю, их векторное сложение дает вектор полной дислокации b0, эти векторы расположены под углом 30° к направлению b0.
27
Рис. 4.1. Схема расщепления полной дислокации
12
ДУ
ДУ , 1
,
2( )
nb
Gb b
rb=
π γ +τ ⋅
на частичные с образованием дефекта упаковки
Если в своем перемещении (скольжении) по плоскости {1;
1; 1} под действием внешнего напряжения дефект упаковки
натыкается на непреодолимое (неперерезаемое) препятствие,
то его ширина может измениться (рис. 4.2):
(4.3)
где τ
– приведенное касательное напряжение, действую-
n,b
щее на дефект упаковки. Оно рассчитывается по формуле
Шмида – Боаса (3.1) с учетом кристаллографических индексов данного ДУ.
Рис. 4.2. Схема сжатия дефекта упаковки под действием
внешнего напряжения
Та часть ДУ, ширина которого уменьшилась до (2–3)b0 может передвигаться переползанием и поперечным скольжением (это явление соответствует тому, что расщепленная дислокация становится нерасщепленной); приведенная схема
28
иллюстрирует основной дислокационный механизм упрочнения жаропрочных никелевых сплавов с ГЦК-решеткой.
Из курса теории дефектов решетки известно, что любая
дислокация характеризуется тремя векторами: направлением
b, в котором происходит смещение атомов при движении дислокации (вектором Бюргерса), направлением, вдоль которого
вытянут этот дефект (линией дислокации) l, и плоскостью, в
которой этот дефект расположен (плоскость задается вектором
нормали к ней n). По определению вектор Бюргерса и вектор
линии дислокации лежат в плоскости n, а взаимное расположение векторов b и l определяет тип дислокации: если эти
векторы сонаправлены (параллельны) – это винтовая дислокация, если перпендикулярны – дислокация краевая, в остальных случаях – дислокация смешанная. Вектор Бюргерса
смешанной дислокации может быть разложен на две составляющие – вдоль линии дислокации и перпендикулярно ей – это
прием, позволяющий вычленить краевую и винтовую составляющие в смешанной дислокации (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Схема определения краевых и винтовых компо-
нент для смешанной дислокации
При расщеплении полной дислокации на частичные с
ДУ между ними линия, вдоль которой вытянут дефект упаковки, – та же, вдоль которой была вытянута и полная дислокация (т.е. вдоль l). Тогда векторы Бюргерса частичных
дислокаций могут быть разложены на краевые и винтовые
компоненты по отношению к линии l. На рис. 4.4 приведен
пример такого разложения при условии, что исходная полная
дислокация была чисто краевой.
29
Рис. 4.4. Схема разложения вектора Бюргерса краевой дис-
0 00
2 32 6
120 0
cos30 3
.
23
bbb b
°
==⋅=⋅
2
ν
±±
−
=
πγ + ⋅
кр кр
ВВ
12
12
ДУ
ДУ , 1
1
.
2( )
nb
bb
G bb
r
tb
локации b
на частичные дислокации b1 и b2 и их краевые и
0
винтовые компоненты
Из рис. 4.4 видно, что b
можно выразить |b
же способом находятся
решетки вектор Бюргерса полной дислокации и период решет-
ки а связаны соотношением
Формула ширины ДУ в виде (4.3) – есть формула в общем
виде. С учетом типа полной дислокации b0 она может быть
представлена в виде
Знаки ± в этой формуле отражают тот факт, что краевые
либо винтовые компоненты частичных дислокаций могут
быть либо сонаправлены (и тогда перед слагаемым будет знак
«+»), либо противоположно направлены (и тогда перед слагаемым будет знак «–»); μ – коэффициент Пуассона. Для примера, приведенного на рис. 4.4, перед произведением краевых
компонент в формуле (4.4) будет стоять знак «+», а перед про-
30
в
| = |b
1
кр
1
в
| =
b bb
2
кр
= b
= 1/2b0. Из геометрии
2
tg30 3 3
°
⋅ =⋅=⋅ Таким
.
Для ГЦК-
a
b =
0
.
(4.4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]