Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Техническая электродинамика. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тамбовский государственный технический университет»
Д.Ю. Муромцев, О.А. Белоусов
ТЕХНИЧЕСКАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
по образованию в области радиотехники, электроники,
биомедицинской техники и автоматизации
в качестве учебного пособия
Тамбов
Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ»
2012
1
УДК 621.385.6(075)
ББК 845я73-5
М187
Р е ц е н з е н т ы:
Кандидат технических наук, доцент ФГБОУ ВПО «ТГТУ»
Н.А. Кольтюков
Доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО
«ТГУ им. Г.Р. Державина»
А.А. Арзамасцев
Муромцев, Д.Ю.
М187 Техническая электродинамика : учебное пособие /
Д.Ю. Муромцев, О.А. Белоусов. – Тамбов : Изд-во ФГБОУ
ВПО «ТГТУ», 2012. – 116 с. – 100 экз.
ISBN 978-5-8265-1096-4
Рассмотрены вопросы теории электромагнитных полей и
волн, пассивные линейные устройства антенно-фидерных трактов
радиотехнических систем и волоконно-оптических линий связи.
Приведены сведения о методах анализа, технических характеристиках и конструктивных особенностях таких устройств как регулярные волноводы и устройства СВЧ.
Предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлению 210200 «Проектирование и технология РЭС», 211000 «Конструирование и технология электронных средств».
УДК 621.385.6(075)
ББК 845я73-5
ISBN 978-5-8265-1096-4
2
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Тамбовский государственный технический
университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»), 2012
ВВЕДЕНИЕ
В современной радиотехнике широко используются различные
волновые электромагнитные процессы (например, направляемые волны в разнообразных линиях передачи и линейных устройствах, излучение и приём радиоволн антеннами, распространение этих волн в
среде между антеннами и др.). Их многообразные свойства и особенности могут быть рассмотрены только при помощи законов электродинамики. Техническая электродинамика как раз и занимается изучением этих законов, исследованием на их основе технических устройств, в которых применяются различные способы управления электромагнитными процессами.
В учебном пособии cистематизированно и подробно рассматриваются основные положения электродинамики, на их базисе исследуются разнообразные линейные устройства, широко используемые в
электросвязи и радиотехнике, в частности регулярные волноводы и
устройства СВЧ, обсуждается практическое применение этих устройств. Особое внимание уделяется чёткому и последовательному
введению системы понятий электродинамики и физической интерпретации получаемых результатов.
3
1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
dV
dS
r
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
1.1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА
Пусть в некотором объеме V, ограниченном поверхностью S со-
средоточен совокупный электрический заряд q. Так как диаметр элек-
V
q
непрерывно с объёмной плотностью
Если совокупный заряд q распределён по поверхности S, то гово-
рят о поверхностной плотности зарядов
Иногда бывают заданы законы распределения величин ρ и σ, то-
гда совокупный заряд q определяется как
трона, как элементарного отрицательного
заряда, составляет порядка 5,6 ⋅ 10
S
даже в самом малом объёме, который доступен наблюдателю, содержится большое число элементарных зарядов. Можно считать,
что в рассматриваемом объёме V элементарные заряды распределены не дискретно, а
dq
=ρ
, Кл/м3. (1.1)
dq
=σ
, Кл/м2. (1.2)
ρ=VdVq ,
∫
σ=SdVq
∫
Кл. (1.3)
,
Кл. (1.4)
–13
см, то
F
M
В самом простом случае совокупный заряд q характеризуется постоянством во времени, т.е. dq/dt = 0,
q
r
r
r
0
q
и неподвижностью в пространстве
вн
v = 0, где v – скорость перемещения
совокупного заряда q. Такой заряд
создаёт так называемое электро-
статическое поле.
4
r
F
r
F
r
r
r
r
E
r
E
r
r
Пусть два неподвижных, постоянных во времени точечных заряда
разнесены в пространстве (в вакууме) на расстояние r. Понятие «точечный заряд» условно. Говоря о
точечных зарядах, предполагают,
что размеры тел, на которых распределены заряды q и qвн, значительно
меньше расстояния r. Взаимодействие между зарядами характеризуется
законом Ш. Кулона (1785 г.) в вакууме
где ε0 = 1/36π⋅10
–9
– электрическая постоянная, Ф/м.
Единичный вектор
Закон Кулона
q
q
r
1
F
=
4
πε
r
ориентирован от источника силового поля
0
r
qq
вн
r
, H или Кл⋅В/м, (1.5)
0
2
r
0
F
r
r
r
0
r
r
r
0
q
вн
q
вн
, т.е. заряда q к точке наблюдения М, т.е. к заряду qвн. Если заряд q и
qвн одного знака, то сила
дать с вектором
r
, т.е. будет наблюдаться отталкивание зарядов. Если
0
, действующая на заряд qвн, будет совпа-
заряды разного знака, они будут притягиваться.
1.2. НАПРЯЖЁННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ
Для характеристики силового воздействия поля заряда q вводится
понятие напряжённости электростатического поля как силы, действующей на единичный положительный заряд qвн:
или с учётом выражения (1.5)
r
E
=
Учитывая сказанное выше, можно показать, что вектор
/qFE
=
4
, В/м (1.6)
вн
1
q
r
r
, В/м. (1.7)
0
2
r
πε
0
всегда
направлен от положительного заряда к отрицательному заряду или в
бесконечность.
Электрическое поле, созданное зарядом q в окружающем пространстве, имеет силовую и энергетическую характеристики – напря-
жённость поля
и потенциал ϕ.
5
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
ϕ
ϕ
r
>
Свойства поля точечного заряда
Сначала вспомним некоторые разделы математики, которые потребуются нам в будущем.
E
E
grad ϕ
1
2
Градиент скалярной функции ϕ(r) –
векторная величина, определяемая как
gradϕ(r) = ∇ϕ =
где ∇ =
∂
i
+
dx
dy
∂
dx
rr
∂
∂
k
j
+
dz
rr
∂
∂
i
+
dy
k
j
+
dz
– оператор ∇ (на-
,
бла) в прямоугольной системе координат.
Другими словами, градиент скалярной функции ϕ(r) в любой точке М(r) есть вектор, нормальный к поверхности уровня в данной точке
и направлен в сторону наибольшего возрастания функции, численно
равный её производной по нормали к поверхности, т.е.
gradϕ(r) =
2. Дивергенция векторной функции
∂
r
.
n
0
dn
)(rE
– скалярная величина,
определяемая как
div
EE
dx
+
∂
E
∂
x
=∇=
dy
E
∂
y
z
+
. (1.8)
dz
E
Геометрический смысл дивергенции заключается в том, что дивергенция (расходимость) поля есть предел отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность, окружающую данную точку
М, к объёму V, ограниченному этой поверхностью, когда она стягивается к точке. Если дивергенция отлична от нуля, то физически это зна-
чит, что в рассматриваемой точке имеются источники поля (
или его стоки (
0div <E
). Если
0div =E
, то в рассматриваемой точке
0div >E
поля отсутствуют источники и стоки поля.
3. Ротор (вихрь) векторной функции
)(rE
есть векторная величи-
на, определяемая как
kji
rot
r
E
=
∂∂∂
. (1.9)
dzdydx
EEE
zyx
)
6
Ротор характеризует степень завихрённости векторного поля в
r
r
r
rrr
r
r
r
E
r
r
точке М(r).
Вихревые линии любого векторного поля обладают тем свойством, что они нигде не начинаются и нигде не кончаются, так как
0rotdiv =E
.
Чтобы определить свойства электростатического поля, описываемого равенством (1.7), необходимо определить дифференциальные
характеристики поля в точке:
Errot
Если в каждой точке поля
−=
Erdiv
−≠
Для получения
rot
E
и
r
E
где
kzjyixr
++=
.
Errot
,
Erdiv
. Если в каждой точке поля
−=
−≠
вихревое.поле0
ное,потенциальполе0
замкнутое,т.е.ьное,соленоидалполе0
альное.несоленоидполе0
E
div
представим выражение (1.7) в виде
q
1
=
3
r
4
πε
0
rr
rrfr
)(
=
, (1.10)
После соответствующих вычислений, которые необходимо провести самостоятельно (оставить для этого 0,5-1 страничку), получим,
что для электростатического поля одиночного заряда вне его
E
rot
= 0,
E
div
= 0. (1.11)
Это означает следующее.
1. Из первого равенства следует, что поле потенциальное, вектор
является градиентом скалярного поля, называемого потенциалом ϕ
электростатического поля, т.е.
ϕ−= gradE
. (1.12)
2. В потенциальном поле работа сил поля по перемещению вно-
симого заряда определяется только разностью потенциалов исходной
и конечной точек и не зависит от формы пути.
3. Поле соленоидальное, т.е. в точках, не принадлежащих области
V линии напряжённости электростатического поля непрерывны, а это
значит, что в этих точках источники поля отсутствуют.
Теперь остановимся более подробно на равенстве (1.12).
7
r
rrrr
E
r
E
r
M
r
θ
ψ
l0
θ
Потенциал электростатического поля
Установлено, что в электростатическом поле имеет место равенство (1.12). Определим выражение для ϕ, так как
ложим, что и
grad r
где
∂
i
+
= , (1.13)
x
∂
0
Поскольку выражение для
(1.7) и (1.13) и найдя первообразную, определим ϕ как
)(rf=ϕ
, тогда
rr
∂
∂
y
∂
zyxr ++= .
k
j
+
2222
=
z
∂
∂
∂
i
+
xrr
∂∂∂
∂
j
+
yrr
∂∂∂
известно, приравнивая выражения
41πε
q
r
0
=ϕ , В. (1.14)
Знак «–» в выражении (1.12) учитывает, что вектор
k
zrr
∂∂∂
)(rfE =
, то предпо-
∂
r
=
0
r
∂
направлен
от «+» к «–», а gradϕ направлен в сторону увеличения потенциала. Линии равных потенциалов (эквипотенциали) образуют своеобразные
энергетические уровни.
2. ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
Пусть имеется система, состоящая из N зарядов. Поле в точке М
будет определяться как векторная сумма полей каждого из зарядов
N
rr
=
EE
, (2.1)
n
∑
=
n
1
а потенциал, соответственно,
N
ϕ=ϕ
. (2.2)
∑
=
nn1
Z
e
Рассмотрим простейший
случай системы зарядов. Элек-
трически нейтральные атом и молекула при появлении электриче-
e
eθ
ψ
ского поля поляризуются, т.е. происходит смещение отрицательно
заряженных частиц (электронов)
против внешнего поля, а положи-
Y
r1
q1
r
l
r1
тельно заряженных ядер – вдольб,
q
2
X
т.е. электрически нейтральная
частица становится диполем.
8
В сферической системе координат рассмотрим систему, состоя-
r
r
r
E
r
ρ
щую из двух различных зарядов, отстоящих на расстоянии l друг от
друга.
В соответствии с выражением (1.16) определим потенциал в точ-
ке М. Запишем
r
q
=
πε
444 rr
q
−=ϕ+ϕ=ϕ
21
πε
q
+
πε
r
11
−
. (2.3)
1202010
Оговоримся, что М удалена от частицы на расстояние r >> l, тогда
лучи r1, r2, r можно считать параллельными, а это значит, что
r2= r – l / 2cosθ, r1= r + l / 2cosθ. (2.4)
Подставляем в (2.3), и считая, что (l/2 cosθ)2<<r2, получим
cos
ql
πε
θ
. (2.5)
2
r
0
=ϕ
4
Произведение q на l определяет модуль электрического момента
диполя и является величиной векторной, направленной от «–q» к «+q»:
где
l
– единичный вектор. Для того, чтобы записать выражение для
0
вектора
в сферической системе координат, вспомним, что
ϕ
d
=ϕ e
grad ,
e
dr
и учитывая, что ϕ = f(θ, r), запишем
r
ql
= ee
E
πε
4
0
lqlP
=
, (2.6)
0
ϕ
+
r
( )
3
r
+
e
θ
ddr
r
sincos2
r
11
sin
ϕ
d
rrr
ψθ
ψ
θ
d
rr
θ+θ
, В/м. (2.7)
θ
2.1. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА,
МАТЕРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поле объёмных зарядов
Пусть заряды расположены в некотором объёме не дискретно, как
было в предыдущем случае, а непрерывно с объёмной плотностью ρ.
В этом случае потенциал в точке М, если использовать выражения
(1.3) и (1.14), запишется
1
πε
dV
, (2.8)
∫
r
0
V
=ϕ
4
9
а
r
r
r
r
ϕ−= gradE
,
Errot
= 0,
Erdiv
= 0 для точек поля, не принадлежащих
области V.
Во всех предыдущих случаях мы рассматривали ситуацию, когда
по известному распределению заряда определялось поле – так называемая прямая задача. Иногда необходимо решать обратную задачу –
найти закон распределения заряда по заданному полю.
Пусть в объёме V распределён электрический заряд q с объёмной
плотностью ρ. Известно электростатическое поле, создаваемое этим
зарядом. Определим закон распределения заряда в области V. Окружим
V замкнутой поверхностью S. Для этого обратимся к закону Гаусса
r
q
=
dSE
∫
S
, (2.9)
ε
0
согласно которому поток вектора напряжённости электростатического
поля через замкнутую поверхность S, охватывающую совокупный заряд q, пропорционален величине этого заряда.
С учётом соотношения (1.3)
r
ρ=VdVq
закон Гаусса можно записать
∫
1
ρ
=
dVdSE
. (2.10)
∫∫
ε
VS
0
Обратимся к теореме Остроградского-Гаусса, которая непосредственно вытекает из определения дивергенции и согласно которой поток вектора напряжённости электростатического поля через замкнутую поверхность, ограничивающую объём V, равен расхождению поля
из этого объёма
Приравнивая левые части равенств (2.10) и (2.11)
div
откуда
=
dVEdSE
div
∫∫
VS
r
=
ε
(2.11)
1
ρ
dVdVE
, (2.12)
∫∫
VV
0
/div ερ=E
. (2.13)
0
Данное уравнение даёт возможность решать обратную задачу.
Если известен закон изменения потенциала ϕ, уравнение (2.13) принимает вид:
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]